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Terselesaikan
【途中計算】青線の部分のところで、どんなに計算しても答えが出ません。途中式を教えてください
168 万有引力による運動 質量 m[kg]の小物体を地
上の1点から鉛直上向きに速さ v[m/s] で打ち上げた
きなところ, 地球の中心0から2R 〔m〕 (R は地球の半径)
の距離にある点Aで速さが0になった。 この瞬間に
OAに垂直な方向に速さv[m/s] を与えたところ, 小
・物体はOを中心とする半径2R の等速円運動をした。
地上での重力加速度の大きさをg [m/s'] とする。
VA
Vo
2R
地球
6R
B
(1)
および を g, R で表せ。
(2) 等速円運動をしている小物体の速さを点Aでv[m/s] に変えると,上図の AB を
長軸とする楕円軌道を描いた。 点Bの地球の中心からの距離が6Rのときはいく
らか。 R で表せ。
(2) 楕円軌道を運動する小物体の周期はいくらか。 g, R で表せ。
(4) 等速円運動をしている小物体の速さを点A
[m/s] に変えた。 小物体が地球に
”
衝突もせず、かつ無限遠点に飛び去ることもなく楕円軌道を描き続けるためには, "
はどのような範囲になければならないか。
[168]
Mm
R2
GM=gR2...... ②
gR
(1) ぴ√gR[m/s], v:
R
(3) 167 -[s] (4)
≤v"<√gR
g
◎指針 (1) ひ については力学的エネルギー保存の法則を用いる。 ”に
ついては円運動の運動方程式を立てる。 または, 遠心力を考えて半径方
向の力のつり合いの式を立ててもよい。 (2) 力学的エネルギー保存の法
則とケプラーの第2法則 (面積速度一定の法則) を用いる。 (3) ケプラー
の第3法則を用いる。 (4) 無限遠点に飛び去るときの速さと、地球に衝
突せず楕円軌道を描くときの最小の速さを求め、その間の速さであれば
よいと考える。地球に衝突せず楕円軌道を描く最小の速さのとき, 小物
体は点Oから点Bのほうへ尺だけ離れた点Cを通る。
また,mg = G
より、
√2
[m/s] (2)
gR
解説 (1) 地球の質量を M〔kg〕,万有引力定数をG[N・m²/kg〕とす
ると,小物体を打ち上げたときと速さが0になったときにつ
いて,力学的エネルギー保存の法則より、無限遠点を万有引
力による位置エネルギーの基準点として
1/2 mn² + ( - 6 Mm) = 1/2 m × 0 + ( - 6 M2 R
Mm
-G
G
R
2R
/3gR[m/s]
2
......1
①
GM
①. ② より vo=
√gR[m/s] (v<0は不適)
NR
次に,小物体が等速円運動をしているとき 小物体の円運動
の運動方程式は、
168
11
Mm
(2R) 2
度と物体
を結ぶ
(2) 点Bでの速さを V[m/s] とすると, ケプラーの第2法則 (2) 楕円運動す
とのなす角が
積速度一定の
(面積速度一定の法則) より,
-x6Rx V
1
= G
2R
②③より, v=
10/1/2x6k
=
④⑤より, v=
②より, v=
GM
V2R V
-x2Rxv
力学的エネルギー保存の法則より
1/2mv ² + (-G Mm) = 1/2m V² + (-G Mm)
2+-G
2R
2mv2²2+
√3gR (m/s)
2
(3
1 /3GM [m/s] (v<0は不適)
21 R
2×2R
(3) 等速円運動の周期をT[s] とすると,T= ひ
楕円軌道の運動の周期をT' 〔s] とすると, ケプラーの第3法
則より,
T2
T'2
(2R)3 (4R)3
1
R
これより, T' =2√2T=2√2x-
= 16π [s]
ひ
g
(4) 無限遠点に飛び去るために必要な最小の速さをv[m/s] と
すると,力学的エネルギー保存の法則より,
2 me ²³+ (- Mm) -
2R
mx02+0
/GM
gR
2
-X2RXv2=
XRXV'
力学的エネルギー保存の法則より、
²+(-6 Mm
2R 5mV1²+
「[m/s] (v<0は不適)
JGM
② ⑥ ⑦ より V2=
3R
したがって 求める"の範囲は,
V₂≤v" <V1
ゆえに
=√gR[m/s] (v<0は不適)
NR
地球に衝突しないために必要な最小の速さをv2[m/s] とす
ると,このときの小物体の運動は、点Oから点Bのほうへ
Rだけ離れた点Cを通る楕円運動となる。この点Cでの速
さを V'[m/s] とすると, ケプラーの第2法則 (面積速度一定
の法則)より,
1
3
2π×2R
gR
・G
Mm
R
gR"<√gR
- [m/s] (v<0は不適)
3
(3)
A
PUISTO 2R
2
Tv sin =
楕円軌道の半長車
2R+6R
=4R と
2
(4) 無限遠点に升
めに必要な最小
地球に衝突し
に必要な最小の
と すると地球に
ず,かつ無限遠点
ることもない速さ
v₂≤v<vi
圃 小物体が地球
側を通る軌道が
地球の表面と接触
とは,数学的な計
明することができ
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いつも本当にありがとうございます。ほんと助かってます。