Question

香菇

請問一下這一題我的列式錯在哪裡

7. 連續投擲一公正骰子2次,以X表示出現點數的和,求X的期望值與變異數。[7,
35
E(X+) = /(1+4+9+16+25+36) =1
T
E(X) = 3.5
E(X)=7
Var(2x) = E(4x²)-E12x)=364 -496
6
二
70
= tº
·]

離散型隨機變數

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

可知

The formula you give is “not” for two “independent random variables”. It's for random variables that are as far from independent as you can get. If X,Y are independent, then you have Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). If, in addition, X and Y both have the same distribution, then this is equal to 2Var(X). It is also the case that, as you say, Var(X+X)=4Var(X). But that involves random variables that are nowhere near independent.

以上是解釋。
簡單來說，你這次的實驗是連續丟一顆公正骰子2次，
假設第一次是X，第二次是Y好了
那麼，求 Var(X+Y)。

但是呢，這兩個隨機變數“不是獨立的“，而是連續執行的；也就是說，你不能把X+Y當作2X處理，所以你得到的
Var(2X)=2²Var(X)=35/3 是錯誤的變異數。

期望值雖然可以這麼做（依照骰子顆數或投擲次數乘下去），但是變異數行不通。

所以，正確的作法，還是列表格，然後計算：

(2²×1+3²×2+4²×3+5²×4+6²×5+7²×6+8²×5+9²×4+10²×3+11²×2+12²×1)/36 – 7² = 35/6，
這才是真正的2次點數和的變異數。

香菇

謝謝你

可知

不過我看了英文解釋，
你可以用 Var(X+Y)=var(X)+var(Y)
然後，X,Y 其實是一樣的隨機變數分配，
所以 Var(X+Y)=var(X)+var(X)=2var(X)
= 2×(35/12) = 35/6

這樣是OK的（可以避免列表格算）
所以如果丟3次骰子，變異數應該就是 3var(X)了。