Question

Misake

この問題の解き方を教えてほしいです。

★ 3 右の図のように,長方形ABCDがある。この長方形の外側に
2つの辺CD, DAをそれぞれ1辺とする正三角形CPDと正三角
形DQAを作り, 線分 CQ が線分AP, ADと交わる点をそれぞれ
E. Fとする。 このとき, 次の問いに答えよ。
□(1) ACDQ≡△PDA であることを証明せよ。
(2) ∠AEF の大きさを求めよ。
B
E
D
C

Answer 1

あ

(1)
△CDQと△PDAにおいて、
△CPDと△DQAは正三角形であるから、
CD=PD…①DQ=DA…②
また、∠CDQ=90°+60°=150°…③
∠PDA=90°+60°=150°…④
③、④より、∠CDQ=∠PDA…⑤
①、②、⑤より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△CDQ≡△PDA
(2)
∠DQC=∠DAP=a
∠DCQ=∠DPA=bとする。
a+b+150=180よりa+b=30°…①
四角形DAECはブーメラン型であるから、
∠AEC=90°+a+b
①より、∠AEC=120°
したがって、∠AEF=180°-120°=60°…答
別解
2点Q,Aが直線EDについて同じ側にあって、∠DQE=∠DAEが成り立つことより、4点Q,A,E,Dは同一円周上にある。
したがって、弧QAに対する円周角だから、
∠QDA=∠QEA(=∠AEF)=60°
したがって、∠AEF=60°