第4問 数列
(1) 数列{an}の初項をa, 公差をdとすると, 第3項が5であるから
.... [A]
a+2d=5 ...... ③
第9項が17であるから
a+8d=17 ...... ④
③ ④ より a = 1, d = 2
よって an=1+(n-1)・2
an=2n-1
また、数列{6²} は公比3で,初項b から第4項までの和が40であるから
b1 (34-1)
3-1
40b1=40
b₁ = 1
よってb=3"-1
n≧2のとき
また
=40
Sn = a₁b₁+akbk
よって
① - ② より
n-1
= a₁b₁+ak+ibk+1 (Ⓒ) ......1
9?
B
3Sn=3arbr=arbk+1
-Easben+ambers (
ak
C
-2Sn=a1b1+ +(an+1—an) bu+1—anbn+1
= a₁b₁+2bk+1-anbn+1 ... D
= a₁b₁+2.3bk-anbn+1
= a₁b₁+Z6br-anbu+¹
n-1
-2S,=1・1+6・3-1-(2n-1)・3"
6 (3-1-1)
3-1
-2S=1+
(2n-1).3n
したがってSn=(n-1).3" +1 (①) .....(5)
なお, abı = 1.1=1であるから, ⑤はn=1のときも成り立つ。
AE
(2) 数列{cm}の初項から第n項までの和をU" とすると
Un = n² +4n
まず C1 = U1=5 ...{E
n≧2のとき
cn=Un-Un-1
= (n² +4n)−{(n−1)² +4(n−1)}
-B
