Question

は

赤吹き出し部分の同値であると言う解説がわかりません

38 nを自然数とし､3進法で表したとき11の後に0がn個続く数をdとする。
77
すなわち, an=1100・・・・・・ 0 (3) である。
(1) α 10進法で表して素因数分解せよ。
(2) 以下、すべて10進法で考える。 α の正の約数の和をSとする。 Sm≧35×10 となる最小
の自然数nを求めよ。 ただし, 10g103= 0.4771 とする。
[類 関西大〕

" +1≧ 10°+1のままでは、両
辺の常用対数をとっても右辺
の計算がうまくできない。
そこで, nが自然数のとき
3 +1≧ 10°+1と3+110° が
同値であることを利用し,
+110°の常用対数をとっ
て考える。
CD)
(1) an を10進法で表すと
an=1100......0(3)=1.3"+1+1.3"=3"(3+1)=2.3"
(2) S=(1+2+22) ( 1+3+...... +3)
1 (3+1−1)
3-1
-(3n+¹-1)
Sn≧35×10° とすると
-(3n+1-1) ≥35×108
よって
3n+1−110°
ゆえに
3n+ ¹ ≥10⁹+1
nは自然数であるから
3+1> 10°
この不等式の両辺の常用対数をとると
10g103+1> 10g10 10
(n+1)×0.4771> 9
= 7.
-
7
2
7
2
9
0.4771
よって
ゆえに
n+1>
= 18.8......
これを満たす最小の自然数nは n=18
したがって, Sn≧ 35 × 10° となる最小の自然数nは18