Question

cain

素因数分解？の問題です。
「460-20nの値がある自然数の2乗となるような自然数nの値を全て求めなさい。」
という問題なんですが、解答を見てもイマイチ理解できません。
詳しく説明してくださる方いませんか？

⊇) 460-20m=20(23-n) =2x5×(23-m) だから
460-20 の値がある自然数の2乗となるのは、
23-n=5×(自然数) となるときである。
23-n=5×12 のとき, n=18
23-n=5×22
のとき, n=3
(23-n=5×32 となる自然数nはない。)
したがって, n=3, 18

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

きらうる

460-20nの値がある自然数の2乗となるような…

20でくくれるのでくくります。
20(23-n)

20を素因数分解します。
2²×5×(23-n)

この式が何かの2乗になればいいのです。
で、2²はすでに2乗になっていますので、無視します。
5×(23-n)
これが、何かの数の2乗になる必要があります。そして、5が1つあるので、もう1つ5がないと5²が作れません。それから、5²ができても、追加で2²や3²などがあってもいいのです。
なので、
5×(23-n)は
5×5　や　5×5×2²　や　5×5×3²　などのかたちになれば、何かの数の2乗になるというわけ。

んで、
23-n＝5　のとき、n＝18
23-n＝5×2²のとき、n＝3
23-n＝5×3²のとき、nは自然数にならない

なんてかいてあるのです。どうでしょうか。

cain

とてもわかりやすかったです！

Answer 2

とみみん

まず最初に、ある自然数の2乗になるということは460－20nが何かしらの〇^2になっていれば良いというのは大丈夫でしょうか？

〇^2になるnの組み合わせを考えようという話です
いきなり〇^2になるnをぶち込んでも大変なので、まず460－20nを共通因数でくくってみます
20(23－n)となり
20は2^4×5で2^4×5(23－n)となります
2^4は(2^2)^2で4の二乗になるので、〇^2の形になっているのでクリアです
問題は5(23－n)が〇^2にならなければならないので、当てはまるnを考えます

この式で5が1つしかないので〇^2の形にするには5がもう1つ必要なので、(23－n)でもう1つ5が出てくる組み合わせを考えます。
まず考えられるのは5×5の場合なので23－n＝5でnが18のときは23－nが5になり、5^2になります
2つ目は20は5×2×2なので、5×(5×2×2)で5^2、2^2の組み合わせが出てきて〇^2になるので
23－n＝20でn＝3のときが出てきます。
23以下の数字で5が出てくる組み合わせは以上なので
n＝18と3になります。

とみみん

上から8行目の20は2^4×5は2^2×5の間違いです

cain

わかりやすかったです！
ありがとうございました！