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問題文の①②から、3つの日付の位置が、必ずL字の形になることは分かりますでしょうか?
これが分かっている、と仮定して解説しますね。

3つの条件①〜③の内、使ってない条件は③のみなので、これを使って答えを求めていきます。
カレンダーには1つの大きな特徴があります。それは、「カレンダー上のある数字に7を足すと、ひとつ下の数字になる」というものです。
このことより、3つの日付の内、最も小さいものをxと置くと、2番目に小さい数字はx+7、最も大きい数字はx+8と表せます。
条件③より、最も小さい数字の2乗と2番目に小さい数字の2乗が、最も大きい数字の2乗と等しいので、式は
  x^2+(x+7)^2=(x+8)^2
となり、これを解くとx=-3,5となります。
日付で、-3は存在しないので、x=5と決まり、3つの日付は5,12,13となります。

こんな感じでどうでしょうか?

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