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（1）設a, b為兩相異有理數，且a<b，並假設a, b之間不存在任何有理數。
而已知 a<(a+b)/2<b，
又 (a+b)/2是有理數，因為有理數的四則運算有封閉性。
故與假設不符，因此反證法知必存在至少一有理數
（至少(a+b)/2就是一個介於之間的有理數了。）
（2）設c, d為兩相異無理數，且c<d，並假設c, d之間不存在任何無理數。
換言之，代表c, d之間都是有理數：
情況一、如果c+d≠0，則取
m = (c+d)/2 ≠0 是有理數，c<m<d
⇒ c+d≠0也是有理數
但是這是錯的。因為c, d皆為無理數，
只要相加不等於0的話，c+d仍是無理數。
故與假設不符，所以情況一顯示，
c, d之間必存在至少一無理數。
情況二、如果c+d=0，則取
m = (2c+d)/3 是有理數，c<m<d（根據分點公式知）
⇒ 2c+d是有理數
⇒ 2c+d = c+c+d=c 是有理數
與假設矛盾，因為c是無理數。
所以情況二顯示，
c, d之間至少必存在一無理數。
綜合以上討論，證得兩相異無理數之間必有無理數。
