Question

麻 奈

1枚目の(2)は3パターンで場合分け2枚目の(2)は2パターンで場合分け このような場合分けの違いはどこから分かるのですか？

E
重要 例題110 2次不等式の解法 (4)
次の不等式を解け。 ただし, α は定数とする。
x²+(2-a)x−2a≤0
計 文字係数になっても, 2次不等式の解法の要領は同じ。 まず, 左辺=0の2次方程
① 因数分解の利用
それには
の2通りあるが、
② 解の公式利用
は左辺を因数分解してみるとうまくいく。
a<βのとき
β<x
(x-a)(x-B)>0<x<α,
(x-α)(x-B)<0⇒a<x<B
βがαの式になるときは,α と B の大小関係で場合分けをして上の公式を
α,
(2)の係数に注意が必要。 a>0,a=0, a<Qで場合分け。」
(2ax² sax
CHART (x-α)(x-B) ≧0の解α, β の大小関係に注意このように分けると
113
金の向きかかわる。
530
解答
(1)x+(2-a)x-2a≦0から
[1] a<-2のとき, ① の解はa≦x≦-2
[2] α=-2のとき, ① は
(x+2)² ≤0
は x=-2
7:00~でするのは2次方程式
[3] -2 <a のとき, ① の解は -2≦x≦a
以上から
a<-2のとき a≦x≦2
元=2のとき x=-2
2<αのとき -2≦x≦a
(x+2)(x-a) ≤0 ...... 11
[1]
(2) ax≦ax から ax(x-1)≦0
[1] a>0 のとき, ① から
よっては 0≦x≦1
[2] α=0のとき, ① は
これはxがどんな値でも成り立つ。
よっては すべての実数
[3] a<0のとき, ① から x(x-1)≧0
①
x(x-1)≦0
よって解は x≤0, 1≤x
以上から
練習次の不等式を解け
0.x(x-1)≦0
a>0のとき 0≦x≦1;
a=0のときすべての実数;
a<0のとき x≦0, 1≦x
to til
11
a
0
する
x
-2
基
[2]
V
x
[3]
tel
-2
$3@1> [1]
① の両辺を正の数αで割る。
注意 (2) について, ax≦ax の両辺をaxで割って, x≦1としたら誤り。 なぜなら, ax=0のと
きは両辺を割ることができないし, ax<0のときは不等号の向きが変わるからである。
(3)
26 Ist
0≦0 となる。 は 「くまたは=｣
の意味なので、くと= のどちらか
一方が成り立てば正しい。
① の両辺を負の数 α で割る。
負の数で割るから、不等号の向き
が変わる。
3 2次不等式
13

180
00000
基本例題 113 絶対不等式
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k>0が成り立つような
一定数kの値の範囲を求めよ｡
(2) 任意の実数x に対して, 不等式 ax²-2√3x+a+2≦0 が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
指針 2次式の定符号 2次式 ax2+bx+c について D=62-4ac とする。
常に ax²+bx+c>0⇔a>0, D<0: 常に ax+bx+c≧0⇔a>0, DO
常にax²+bx+c<0 a<0, D<0 : 常に ax+bx+c≦0a < 0, D≦0
(
(2) 単に「不等式」 とあるからa=2次不等式で
ない)の場合とa≠0の場合に分ける。
補足 ax²+bx+c>0 に対して, a=0 の場合も含め
[a>0, D<0]
ると、次のようになる。
常にx+bx+c>0⇔a=b=0,c>0;またはa> 0, D<0
(正)であるから, D< 0 が条件。
2の係数は1
解答
(1) x2の係数が1で正であるから、常に不等式が成り立
つための必要十分条件は、 2次方程式
x2+(k+3)x-k=0 の判別式をDとすると
D=(k+3)²-4•1•(-k)=k²+10k+9=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より (+9) (+1)<0
ゆえに 9 <<-1
TAMS020
p.171 基本事項 ⑥6
RSDOS
D<0
不等式x^2-2x≧kx-4
ath
演習 129
KE+..
a=0のとき, 2次方程式 ax²-2√3x+a+2=0 の判別
式をDとすると、常に不等式が成り立つための必要十
分条件は a<0 かつ D≦0
1010x
「すべての実数x」または「任意の実
「数x」に対して不等式が成り立つと
は、その不等式の解が,すべての実
数であるということ。
(2)a=0のとき, 不等式は-2√3x+2≦0 となり,例え (*) グラフがx軸に接する,また
ばx=0のとき成り立たない。
はx軸より下側にある条件と同じ
であるから, D<0ではなくD≦0 と
する｡
=(-√3)a(a+2)=-a²-2a+3=-(a+3)(a-1)
であるから D≦0 より (a+3)(a-1)≧0
よって
a≤-3, 1≤a
a<0 との共通範囲を求めて
すべての実数xについて、2次不等式 ax²+bx+c> 0 が成り立つ
2次関数y=ax²+bx+cのグラフが常にx軸より上側にある
(下に凸) かつ D=62-4ac<0 (x軸との共有点がない)
(1) の D<0 は, 下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
ぺ
[a<0, D<0]
a≤-3
[a>0, D<0]
基
0≤
う
指針
C
E