Question

えい

解答の「(1)の結果を利用して」という部分、何を言っているかは理解出来たのですが、k=3とかを代入してみると二次方程式においてD>0を満たしませんよね？？
自分はα,βの条件式を使わずに二次方程式のD>0のみでkの範囲を出してしまったのですが、そうするとkの値の範囲が、k<-√10,√10<kとなりました。
ですので、「α,βの条件式を満たす、かつ二次方程式においてD>0」となるkの値の範囲は√10<k<10では無いのでしょうか？

55 (1) 実数x,yが (x-3)2+(y-3)^=8 を満たすとき, x+yとxyのとり
うる値の範囲をそれぞれ求めよ。
x + y ²
α, βは (α-3)+(B-3)²=8 かつ α<β を満たす実数とする。また,α,
5
βは2次方程式 x2 -kx+ =0 の2つの解であるとする。 このとき, k, a,
2
ASELL
βを求めよ。
TANS 01=($\e-
[19 埼玉大 〕
x(STD)

よって 2-10a +16 > 0
これを解くと a<2, 8 <a
a-4>2
a> 6 ...... ②
[2] 軸について
よって
[3] f(2) =20-2a> 0
よって
a < 10
①,②, ③ の共通範囲を求めて
αは自然数であるから a=9
54 f(x)=5nx2+(mn-20)x+4m とする。
5n > 0 であるから
y=f(x)/
y=f(x) のグラフは
下に凸の放物線である。
よって, 2次方程式
f(x)=0が1より大き
い解と1より小さい解
をもつ条件は
f(1) < 0
4m
よって
m, nは異なる数であるから
よって 5n-12+(mn-20).1 +4m<0
すなわち mn+4m+5n-20<0
ゆえに
(m+5)(n+4) <40
m+5≧6, n +4≧5より, ① を満たす整数
m+5, n+4の組は
2038
(m+5, n+4)=(6, 5), (6, 6), (7, 5)
(m,n)=(1,1),(1,2),(2,1)
O
(m, n)=(1, 2), (2, 1)
Y=-2x2-3X+5
1
55 (1) x+y=X, xy=Y とおく。
(x-3)2+(y-3)²=8 を変形すると
x2+y2-6(x+y) + 10 = 0
すなわち, (x+y)²-2xy-6(x+y)+10=0か
ら
X'-2Y-6X + 10 = 0
よって
①を③に代入して
X2-
X²-4Y20
8<a<10
また,x,yは2次方程式
t2-Xt+Y=0
2次方程式②の判別式をDとすると
D=X2-4Y
2次方程式 ② が実数解をもつための条件は,
D≧0であるから
すなわち (X-2)X-10)≦0
よって
...... (1
② の2つの実数解である。
X²-4(X²-3x+5) 20
2≤X≤10
また、①を変形するとY=1/12 (X-3 + /1/2
よって, ④ において, Y は X=10で最大値 25,
X=3で最小値 1/23 をとる。
したがって 2≤x+y≤ 10,≤xy≤25
5
(2)αは2次方程式x²-kx+1=0の2つの
解であるから、 解と係数の関係により
a+ß=k, aß= ²2/2
α, βは(α-3)2+(β-3)²=8 を満たし,αキβ
であるから, (1) においてD>0と考えて
2<k<10
22=1/k²-3k+5
また, ① により
すなわち (k-1)(k-5)=0
2 <k <10 であるから
このとき
k=5
2次方程式x2-5x+1=0を解くと
a=
x=
5+√15
2
α<βであるから
5-√15
2
B=
5+√15
2
56 x2y + xy2 = 91 から xy(x+y)=91
x+y=α, xy=β ･･････ ① とおくと
α+β=20,αβ=910
よって, α, βは2次方程式 2-20s +91=0の
解である。
左辺を因数分解して
ゆえに
s = 7, 13
ゆえに a²-4820
α=7, β=13のとき
s-7)(s-13)=0
よって (a, β)= (7,13), (13,7)
また、①より, x, y は2次方程式
t2 - at + β=0の解である。
この2次方程式の判別式をDとすると, x, y は
実数であるから
D≧0
α2-4β=72-4・13=-3
これはα²-4β≧0 を満たさないから、不適。
α=13, β=7のとき
α2-4β=132-4.7=141
これは α²-4β≧0 を満たす。
ゆえに,α, β の値は α=13, β=7
x+y=13, xy=7
よって
したがって
x2+y2=(x+y)2-2xy
{-1}=132-2.7=155

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Apple

kは導出されている通り1か5にしかなりえません。
k=3を入れたら、前提条件のどこかがずれるのは当たり前だと思います。今回はD>0の条件がずれたということでは？

自分はα,βの条件式を使わずに二次方程式のD>0のみでkの範囲を出してしまったのですが、そうするとkの値の範囲が、k<-√10,√10<kとなりました。
ですので、「α,βの条件式を満たす、かつ二次方程式においてD>0」となるkの値の範囲は
→ここまでok
√10<k<10では無いのでしょうか？
→ここで何故範囲が変わったのですか？

√10<kであれば解答のk=5は成り立ちます。

Apple

失礼しました
2<k<10ではなく、√10<k<10ではないかという質問でしょうか？
であれば√10を導出していないし、する必要もなかったからです。

えい

二次方程式の方のみで考えればkの取りうる値の範囲はもちろんk<-√10,√10<kですよね？この場合、解説のkの取りうる値の範囲と違うと思うのですが(最終的にk=1,5で範囲に入るkの値は一致しますが。)この範囲から-√10<1<√10で、1は範囲内にないのでk=1は不適、というやり方でも良いのでしょうか？
この範囲だけだと(α-3)²+(β-3)²=8という条件式も同時に満たさない可能性があるからこの条件式を使って範囲を出すしかないのでしょうか？
仮にそうだとしたら2<k<10というkの取りうる値の範囲も同じですよね？二次方程式においてD>0を満たさないkの値が出てくると思うのですが、、

えい

あと、Appleさんの最初のご回答の最初の方にある発言「D>0の条件がズレたということでは？」についてなのですが、そもそも2<k<10というのがD>0を考慮して範囲を出しているのです。だとしたらk=3、これはもちろん答えでないのは分かりますが、範囲に入っているのでD>0は満たすのではないでしょうか？

Apple

再考しました

えい

わざわざこのようなものまで作って下さりありがとうございます。理解出来ました！