Question

えい

解答の「(1)の結果を利用して」という部分、何を言っているかは理解出来たのですが、k=3とかを代入してみると二次方程式においてD>0を満たしませんよね？？
自分はα,βの条件式を使わずに二次方程式のD>0のみでkの範囲を出してしまったのですが、そうするとkの値の範囲が、k<-√10,√10<kとなりました。
ですので、「α,βの条件式を満たす、かつ二次方程式においてD>0」となるkの値の範囲は√10<k<10では無いのでしょうか？

55 (1) 実数x,yが (x-3)2+(y-3)=8 を満たすとき, x+yとxyのとり
うる値の範囲をそれぞれ求めよ。
bed
(2) α, βは (α-3)^+ (B-3)^=8 かつ α<β を満たす実数とする。また,α,
5
Bは2次方程式 x2 -kx+ =0 の2つの解であるとする。 このとき, k, α,
2
CHAL
β を求めよ。
[19 埼玉大〕

よって ²-10a + 16 > 0
これを解くとa<2, 8 <a ... ①
[2] 軸について
a-4>2
よって
a>6 ...... 2
[3] f(2) =20-2a> 0
よって
a < 10
①,②,③の共通範囲を求めて
a は自然数であるから a=9
54 f(x)=5nx2+(mn-20)x+4m とする｡
5n > 0 であるから,
y=f(x)
y=f(x) のグラフは
下に凸の放物線である。
よって、 2次方程式
\21
4m
f(x)=0が1より大き
い解と1より小さい解
をもつ条件は
f(1) < 0
よって
5.12+ (mn-20) ･1+4m<0
すなわち mn+4m+5n-200
ゆえに
(m+5)(n+4) <40
m+5≧6,n+4≧5より, ① を満たす整数
m+5, n+4の組は
O
(m+5, n+4)=(6, 5), (6, 6), (7, 5)
よって
(m,n)=(1,1),(1,2),(2,1)
m, nは異なる数であるから
(m,n)=(1,2),(2,1)
1
55 (1) x+y=X, xy = Y とおく。
(x-3)2+(y-3)²=8 を変形すると
x2+y2-6(x+y) + 10 = 0
すなわち, (x+y)2-2xy-6(x+y)+10= 0 か
X'-2Y-6X + 10 = 0
よって
また,x,yは2次方程式
t2_Xt+Y = 0
2次方程式②の判別式をDとすると
D=X2-4Y
Y=X²-3X+5_.....
X2-4Y ≧ 0
①を③に代入して
8<a<10
2次方程式 ② が実数解をもつための条件は、
D≧0であるから
② の2つの実数解である。
3
X²-4(X²-3x+5) 20
[S][I]
x
すなわち (X-2)X-10)≦0
よって
2≦X≦10
4
また、①を変形するとY=12x-31°+12
よって, ④ において, Y は X=10で最大値 25,
X=3で最小値-1/2 をとる。
したがって 2≦x+y≦10,≦xy≦25
(2)は2次方程式x-kx+1=0の2つの
解であるから, 解と係数の関係により
+5
a+β=k, aβ=
=2
α, βは(α-3)2+(β-3)² =8 を満たし,αキβ
であるから, (1) においてD>0 と考えて
2<k <10
また, ① により
すなわち (k-1)(k-5)=0
2<k<10であるから k=5
このとき,2次方程式x²-5x+1=0を解くと
α<βであるから
α=-
5 1
2 2
5+√15
X=-
2
5-√15
2
β=
ゆえに
a²-48≥0
α=7, β=13のとき
-k2-3k+5
145
5+√15
2
>
xy(x+y)=91
-35
56 x2y+xy2=91から
x+y=α, xy=β ･･････ ① とおくと
α+β=20,αβ=91 00
よって, α, βは2次方程式 2-20s +91=0の
解である｡
左辺を因数分解して
ゆえに s = 7, 13
(a, β) = (7,13), (13,7)
よって
また、①より,x,yは2次方程式
t2 - at +3=0の解である。
この2次方程式の判別式をDとすると,x, y は
実数であるから
D≧0
(s-7)(s-13)=0
α2-4β=72-4・13=-3
これは α²-4β≧0を満たさないから,不適。
α=13, β=7のとき
α2-4β=132-4・7=141
これは α²-4β≧0 を満たす。
ゆえに, α, β の値は α=13,β=7
x+y=13, xy=7
よって
したがって
x2+y2=(x+y)²-2xy
(1)(1132-2.7 = 155