Question

みりん

PAが被約階段行列になることは分かるのですが、PABの(rankA＋1)行目からn行目までの成分が全て0になるのが何故か分かりません。教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

★★
重要 例題 025 区分けされた行列の階数 ①
A AB
A,Bをn次正方行列とするとき, rank [A ³] |= rankA+rank B を示せ。
B
指針
[A AB を簡約階段化する。
解答 A,Bがそれぞれn次正則行列 P.Qにより簡約階段形 PA,QB に変換されるとする｡
Joi
このとき
PAB]
O
QB
PA は簡約階段形であるから, PA の (rank A +1) 行目からn行目までの成分はすべ
て0である。
神約階段行列
(0) (S)
同様に, PÂB の (rank A +1) 行目から行目までの成分はすべて0である。
エロック
よって、行列 [Pa ]
PA PAB
QB
の (rankA+1) 行目からn行目までのブロックとn+1
O
行目から2行目までのブロックを入れ替える行基本変形と, 更に必要であれば適当
PAPAB1
な列基本変形により,行列 [P
は標準形となる。
QB
P OTA AB
したがって
AB]=[PO
PA PAB
rank [AB]=rank A+ rank B
=A (1) (8)

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