Question

サル党

２進数と数値表現の問題の解説で質問です。

aを２進数で表現するとnビットであるとき、
aの最大値は2^n-1なので、とあります。

なぜaの最大値は2^n-1となりますか。

ご教授の程お願い致します。

問1 ・解説
αを2進数で表現するとルビットであるとき,αの最大値は2"-1なので, b=dであるの
最大値は(2"-1)' = (2")²-2×2"+1=22"-2"'+1です。 この式の2 に着目し、2ｶビット
で表現できる最大値22-1と6の最大値 (22"-2"+1+1) の差を見ると,
(22-1)-(22"-2"+1+1)=2"+1-2>0 ( ∵n≧1)
となります。また,2n-1ビットで表現できる最大値22-1-1と6の最大値の差は.
(22-1-1)-(22"-2" +1+1)
= 22n-1 -22" + 2" +1 -2 = 22"-1(1-2) +2"+1-2=-22-1 + 2" +1−2≦0 ( ∵n≧1)
となり,「22-1-1≦2"-2" +1 +1<2"-1」 であることから, bを2進数で表現した値は
高々2nビットであることがわかります。

２進数 数値表現

Answer 1

GL

nビットの値の最大値は11...1 (1がn個)です。これは10...0 (1の後に0がn個)=2^nの1つ前の数なので、11...1=2^n-1となります。