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必要十分条件がしっかりと確認されていないからです。
この問題は2次方程式の共通解を求める問題ですよね。
普通にやってみると
①より
x²-3x+2=0…☆
(x-1)(x-2)=0
x=1,2…①'
②より
(x-2)(x+3)=0
x=2,-3…②'
①',②'より
x=2
ですよね。
では、なぜx=5は答えにならないんでしょうか。
それは、仮に①-②で得た
x²-7x+10=0
の方程式を③と置いたとき、
「5は③の解だから5も答えだ！」
なんて言うのは、
「1は①の解だから1も答えだ！」
「-3は②の解だから-3も答えだ！」
なんて言ってるのと同じなんです。
連立2次方程式では、足し算や引き算をするときに、x²の項が消えなければ意味がないんです。
上の「x²-3x+2=0」の式を☆としてみます。
☆-②をしてみましょう。そうすると
-4x+8=0
x=2
となり、正しい答えが求まりますよね。
では、何故このときだけ正しい答えが求まるのか。
それは、偶然としか言いようがありません。
x²-4x+2=0…④
x²-6x+9=0…⑤
こういうケースを考えてみましょう。
④の解は2だけ、⑤の解は3だけ。
つまり④と⑤は共通解を持ちません。
ですが、④-⑤をしてみると
2x-7=0
x=(7/2)
という、全く見当違いの答えが出て来ますよね。
つまり何が言いたいかと言うと、元の2つの式から新たに出てきた式を使ったところで、必ずしもその式の答えが全体の答えになるとは限らないということです。
だから、しっかり一つ一つ確認しなければなりません。
でも、そんなことするぐらいだったら、初めからそれぞれの答えを求めた方が早くないか？って話になります。これが普通の解き方です。
先程「x²の項が消えなければ意味がない」と言ったのは、消えないときは解が絞れず、消えるときは解が絞れるからです。
消えないときは重解でない限り解が2つ出てきますよね。その2つが①や②を満たすのかそれぞれ調べなければいけません。すなわち「1つ目が①を満たすのか」「1つ目が②を満たすのか」「2つ目が①を満たすのか」「2つ目が②を満たすのか」の合計4つの行為が必要になります。それだけでなく、これ以前にも「③で2つの解を求める」という行為をしていますので、これは「①で2つの解を求める」「②で2つの解を求める」という行為よりも明らかにプロセスが多いですよね。これでは全く有用性が無い訳です。
ですが、消えるときは必ず2次方程式が1次方程式になるので解は1つに絞れます。「連立方程式を解いているのだから、まぁ解なしってことはないだろ」って考え方で行けば、これを答えにしてしまってもいいくらいです。実際には先程のように解なしのこともありますが、それでも確認するのにも①と②のそれぞれで確認して終わりなのでそんなに時間はかかりません。なので多少有用性があるという意味で「意味がある」と言えるかと思います。
こういう連立方程式の答えにおけるそれぞれ方程式の答えが何を意味するかと言うと、「答えがあるとしたらこれになる」ということです。例えば、③の解はx=2,5でしたが、ここから言えるのは「2と5が答えになる」ということではなく、「答えがあるとしたら2か5になる」ということなんです。
「答えが③の方程式を満たす」
↑これは紛れもない事実です。
③の方程式を満たすのは、2か5しかない。
だから答えは2か5になる。
だが決して2や5だと決まった訳ではない。
だからもう一度確認しなければならない。
こういう論法です。
すむかもしれません→すみますからね
です。
今考えたらコッチの方がいい解法のような気もしてきました。
まぁ解法に「必ずこうしなければいけない」ってのは無いので、ご自分に合うものを取捨選択されるのが一番いいかとは思います。
ありがとうございます。理解できました！
「因数分解したくない」と言うのなら、x²の項を消して解くのもアリかもしれません。
一次方程式を解いて、後は2つの式に代入するだけですむかもしれません。
x²の項を消さなくても「因数分解が2つから1つになる」という点で意味はあるかもしれませんが、まぁどうせなら消した方がいいですよね。