Question

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

この3問を教えてください🙇🏻‍♀️
途中式もお願いしたいです🤲🏻

XII. 次の関数を微分せよ。
1.
1
arctan r >
2. (arccos x)² + 1, 3. arcsin x + arccos x

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

寒

ヒントだけ置いておきます。

①逆関数f⁻¹(x)の定義
y=f⁻¹(x) ⇔ x=f(y)
②逆関数の微分
dy/dx=1/(dx/dy)
③合成関数の微分
{f(t(x))}'=f'(t)∙t'(x)

1.
①y=arctan(x)とおくとx=tan(y)
x=tan(y)の両辺をyで微分するとdx/dyが求まる。
tan(y)をyで微分すると1/cos²(y)となるから、
dx/dy=1/cos²(y)
xで表せるように変形する。
sin²y+cos²y=1を代入して、
1/cos²y=(sin²y+cos²y)/cos²y
=tan²y+1
=x²+1
したがって、dy/dx=x²+1
②{arctan(x)}'=y'=dy/dx=1/(dx/dy)=1/(x²+1)
③f(y)=1/yとおくと(1/y)'={f(y)}'=f'(y)∙y'
f'(y)=-1/y²より、
(1/y)'=(-1/y²)∙y'
=(-1/arctan²x)∙1/(x²+1)
=-1/{(x²+1)arctan²x}

2.
①y=arccos(x)とおくとx=cos(y)
②{arccos(x)}'=y'=dy/dx=1/(dx/dy)
③(y²+1)'=2y∙y'

3.
①y=arccos(x), z=arcsin(x)とおくと、
x=cos(y), x=sin(z)
両辺をy,zで微分すると、
dx/dy=-sin(y), dx/dz=cos(z)
逆関数の値域を0≦y≦π, -π/2≦z≦π/2とすると、
sin(y)=√{1-cos²(y)}=√(1-x²)
cos(z)=√{1-sin²(z)}=√(1-x²)
であるから、
dx/dy=-√(1-x²), dx/dz=√(1-x²)
②y'=dy/dx=1/(-√(1-x²)), z'=dz/dx=1/√(1-x²)
③{arccos(x)+arcsin(x)}'=(y+z)'=y'+z'

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

ホントにありがとうございます😭😭
入力も大変なのに丁寧に教えてくださって感謝しかないです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️ありがとうございます🙇🏻‍♀️