Question

みこ

教えてくださいっ！！

13
二次方程式x16x+3a=0の解が
ともに1より大きい奇数となるような正の
整数aの値をすべて求めなさい。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ネイピア

x^2-16x+3a
この式は
x^2+(b+c)x+bc
の形であるということを考えると
(b+c)=-16
となる。
b,cが両方正のとき和は-16にならない、
片方正で片方負のときは3aのaが-でなければならないのでこの可能性は無いとなると、
b,cが両方負なら積が正になるので3aが成り立ち、b,cは負だとわかる。

ここでb+c=-16でさらにbc=3a(3の倍数)の数を考えると(例:-1-15=-16,-1×-15=15)
-1,-15①，-3,-13②，-4,-12③，-6,-10④，-7,-9⑤
それぞれのaを考えると
①-1×-15=15 15=3a a=5
②-3×-13=39 39=3a a=13
③-4×-12=48 48=3a a=16
④-6×-10=60 60=3a a=20
⑤-7×-9=63 63=3a a=21
これを二次方程式x^2-16x+3aに代入して解がともに1より大きい奇数になるものを探す
① x^2-16x+3a=x^2-16x+15=(x-15)(x-1)　x=15,1
② 与式=x^2-16x+39=(x-13)(x-3)　x=13,3
③ 与式=x^2-16x+48=(x-12)(x-4)　x=12,4
ここまででわかるように(x+y)(x+z)のy,zは先程求めた①②③④⑤の値が入るようになっているので同様に
④与式=(x-10)(x-6)　x=10,6
⑤与式=(x-7)(x-9)　x=7,9
解がともに1より大きい奇数になっているのは②,⑤なのでa=13,21

Answer 2

ガラス固化体@プロフ読んで

解の公式より、二つの解をα,βとおくと
α+β=16,αβ=3a
また、条件よりα>2,β>2
α,βはともに奇数
これらよりα=3,5,7の時を考える(9,11,13はαとβを入れ替えれば同じ)
α=3のときβ=13よって3a=39→a=13
α=5のときβ=11よって3a=55不適
α=7のときβ=9よって3a=63→a=21
よってa=13,21

別解
3a=-x²+16xからa=(-x²+16x)/3
このグラフを書くと(写真)
これに横線を引いて、交わる点のx座標がともに1より大きい奇数なものを探すと、(以下略)