Question

abc

この問題の解き方を教えて欲しいです、よろしくお願いします

(2) 重積分
数変換して求めよ.(答えが一致していなければ, どこかで計算間違いをしています.)
(z-y)e"+y dedy, D:0<α+y< 1,0<a-y<1の値を c+y=u, a-y=ひと置き、 変

重積分

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ぽっきー

変数変換する際はヤコビアンを忘れないようにしましょう。
dxdy＝lJldudvということです。
ただし,J＝∂(x,y)/∂(u,v)
よって
(与式)＝∮(0→1)∮(0→1)ve^u・lJldudv
　　＝lJl∮(0→1)e^udu・∮(0→1)vdvとなって単純な2乗積分の計算になります。

abc

1/4(e-1)で合ってますか？

ぽっきー

計算してませんので答えは知りません。私はあくまでも解き方を教えただけです。

abc

累次積分した時と答えが一致しなかったので質問させて頂きましたm(_ _)m

ぽっきー

それはすなわち変数変換せずに直接解いたやり方と今回の変数変換の方法とで答えが一致しなかったということですか？
計算ミスしている可能性がありますね。
まず,lJl＝1/2となり積分の結果が(e−1)/2となりますが
(e−1)/4が答えとなりますね。

abc

累次積分した時の解き方は分かりますか？

ぽっきー

まず領域を書いてどちらかを固定して片方の文字に関して積分するところからですね。領域をa≦x≦b,f(x)≦y≦g(x)のような形で表してあげる縦線領域のやり方と逆の横線領域の両方の解き方がありますがどちらでも良いです。
領域をまず図示してそこから縦線領域もしくは横線領域の形で表現してあげるところからまず始めて下さい。

abc

領域を書いた結果、x=1/2を境に三角形が4つ出来る四角形になったので、三角形1つ分の0≦x≦1/2, 0≦y≦xで関数を積分して最後に×4して求めようとしているのですが、行列式使ったときの答えと一致しないんです

ぽっきー

{(x,y)∈R^2 | 0≦x≦1/2, -x≦y≦x} ∪ {(x,y)∈R^2 | 1/2≦x≦1, x-1≦y≦-x+1}
縦線領域ならこのようになります。

ぽっきー

対称性使う場合は被積分関数もその領域を4つに分けたときに対称になっていないと使えないのでそこが原因だと思います。

abc

最終的にはこういう事ですか？

ぽっきー

そういうことになります。

abc

計算したら0になったのですが、自分の計算ミスですよね💦

ぽっきー

だと思います。頑張って下さい。

abc

計算ができ、解決しました！ありがとうございました！