闇雲に式を弄るより単位円を書いて考えた方がいいです.
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44°<θ+44°<134°であること, また正弦関数が90°で対称であることに注意すれば
90°-θ=(θ+44°)-90°⇔2θ=180°-44°⇔θ=68°.
1つ注意しておくとθ≠θ+44°なので44°<θ<90°で一致することはない, だからθ+44°は90°<θ<134°という論理を用いています.
作図ですが, まず0°<θ<90°にある点(cosθ, sinθ)[第1象限]を単位円上にとり, y=sinθと単位円とのもう一方の交点をとります.
この交点が(cos(θ+44°), sin(θ+44°))になっているわけです. あとはy軸対称性[90°での対称性]から上の式が成り立ちます.
[注]
cos(θ+44°)=-cosθであることも分かります.
[追加]
✩.*˚aiさんの答案を改めて見直して思ったのですが, 加法定理から和積の公式を導きませんでしたか?
[復習になるか予習になるか分かりませんが]和積の公式は以下のように導けます.
加法定理からsin(X+Y)=sin(X)cos(Y)+cos(X)sin(Y), sin(X-Y)=sin(X)cos(Y)-cos(X)sin(Y)で, 差をとると
sin(X+Y)-sin(X-Y)=2cos(X)sin(Y). x=X+Y, y=X-Yとなるように変数変換します. X=(x+y)/2, Y=(x-y)/2なので
sin(x)-sin(y)=2cos{(x+y)/2}sin{(x-y)/2}.
これを利用すると次のような解答になります.
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和積の公式から
sin(θ+44°)=sinθ⇔sin(θ+44°)-sinθ=0⇔2cos[{(θ+44°)+θ}/2]sin[{(θ+44°)-θ}/2]=0⇔cos(θ+22°)sin(22°)=0
ここでsin(22°)≠0なのでcos(θ+22°)=0. 22°<θ+22°<112°に注意すれば, θ+22°=90°⇔θ=68°と定まります.
やってみます。