Question

めがね

お願いします

6
1から9までの数字を使って4桁の整数をつくり、千の位,百の位, 十の位, 一の位の
数をそれぞれa, b, c, dとする。ただし, 同じ数字を何回使ってもよいものとする。
(1) a, 6, c, dがすべて異なるような4桁の整数は全部で何個できるか。
(2) aく6<c<d となるような4桁の整数は全部で何個できるか。また, a=b<c=dと
なるような4桁の整数は全部で何個できるか。
(3) 1211 のように, 同じ数字がちょうど3回使われる4桁の整数は全部で何個できるか。
(配点 20)
また,ちょうど 2種類の数字からなる4桁の整数は全部で何個できるか。

Answer 1

ジャスタウェイ

(1)
aから順に数字を選ぶとすると、
a→1〜9の9通り
b→1〜9のaで使ったもの以外の8通り
c→1〜9のa,bで使ったもの以外の7通り
d→1〜9のa,b,cで使ったもの以外の6通り
したがって、
₉P₄＝3024通り

(2)
数字を4つ選んだ瞬間に大小関係は勝手に決まる。
(5,4,8,6→a＝4,b＝5,c＝6,d＝8)
また、a＜b＜c＜dと、等号がないからどの数字も被らない。
したがって、1〜9の4種類の数字を選ぶから、
₉C₄＝126通り

また、a＝b,c＝dとなるのだから、使われる数字は2種類だけである。
先程の問題同様に順番は勝手に決まる。
したがって、1〜9の2種類の数字を選ぶから、
₉C₂＝36通り

(3)
同じ数字が3個使われるということは、使われる数字の種類は2種類である。
今回は大小関係はなく、2種類選んだ数字のうちどちらかの数字を3枚同じにする。そのとき2通り(2!通り)の方法がある。
(1と3を選んだのなら1を3枚にするか3を3枚にするかの2通り)
したがって、1〜9の2種類の数字を選んで、どちらを3枚にするか決めるから、
₉C₂×2!＝₉P₂＝72通り
また、一、十、百、千の4つの位から同じ数字が入る場所3つを選ぶ。
(1113、1131、1311、3111)
したがって、
72×₄C₃＝288通り

同じ数字が2枚のときは、どちらも2枚ずつなので、どちらを2枚にするか決めるという操作はしなくて良い。
それ以外を同じ数字が3枚のときと同様にすると、
₉C₂×₄C₂＝216通り

これらを足し合わせればちょうど2種類の数字からなる4桁の整数全部が求まる。
したがって、
288＋216＝504通り

こんな感じです。わからないところがあったら教えてください！