Question

さ な

(1)は一応、-2≦x+y≦2と解いたのですけど、(2)をどのように考えればよいのか分かりません😵
考え方というかヒントなどを教えていただきたいです🙏

x°+y°=2 をみたす実数x,yについて,次の各問いに答えよ。
(1)x+yのとり得る値の範囲を求めよ。
(2)x°+y°のとり得る値の範囲を求めよ。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

まい

考え方の一例です
参考にしてください
↓

まい

(1)はあっていますよ

さ な

回答ありがとうございます
理解できました😊

Answer 2

Seifert-van Kampen

⑴は⑵の誘導になっています。
x³+y³ は基本対称式（ x+y と xy だけで表せる）ので， xy のとりうる範囲も⑴で求めちゃいましょう。

⑴u=x+y, v=xy とする。
x²+y²=2 より (x+y)²-2xy=2.
よって，u²-2v=2⇔v=u²/2-1…①.
また，解と係数の関係より x, y は 2 次方程式 t²-ut+v=0 の 2 解である。
x, y は実数であるから，判別式を D とすると D≥0.
ゆえに， u²-4v≥0⇔v≤u²/4…②.
uv 平面で，①の表すグラフ（緑）と②の表す領域（青）は下図のようになる。
よって，①，②を同時に満たす点 (u, v) のうち
u が最小となるのは点 A. u が最大となるのは点 B.
v が最小となるのは点 C. u なが最小となるのは点 A, B.
また，連続性から最小値・最大値の間の任意の値をとる。
したがって， -2≤u≤2, -1≤v≤1.
すなわち， -2≤x+y≤2, -1≤xy≤1.

②は冒頭とヒントだけ。
x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=u³-3uv.
u を固定して， f(v)=-3uv+u³ (-1≤v≤1) とすると， f(v) は v の一次以下の関数だから， f(v) は定義域の端点で最小値・最大値をとる。
→ v だけを動かすから，最小値・最大値が u の式だけで表せる。
→さらにその u だけの式で最小値・最大値を考える。

Seifert-van Kampen

誤字訂正： u なが最小…… となっているのは v が最大…… です。

Seifert-van Kampen

すみません，⑵について訂正があります。
コメントで追加しますのでお待ちください。

Seifert-van Kampen

⑵で私がとった方法は予選決勝法（ 2 変数の場合に 1 変数を固定することで，固定しなかったもう 1 つの変数で最小・最大を表す）なんですが，この解法が有効なのは 2 変数が独立の場合でした。

今回は u と v の間に v=u²/2-1 (x²+y²=2 より ) という関係があるので従属です。

なので，
x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=u³-3uv=u³-3u(u²/2-1)=-u³/2+3u.
f(u)=-u³/2+3u とおいて，微分すれば ok です。

さ な

回答ありがとうございます
参考にさせていただきます