Question

姫華

解説までお願いします！

3
立方体を積み重ねてできる立体について, 太郎さん,花子さん, 先生の3人が会話をしています。次の会話を
読んで,あとの(1)~ (3)の問いに答えなさい。
先生「1辺が2cmの立方体を, 図1のように, すき間なく積んでできる立体について考えてみよう。 5段
目まで積み重ねたとき, 5段目には何個の立方体があるかな。」
1段目
2段目
3段目
図1
先生「2段目には4個, 3段目には9個の立方体があるよね。」
太郎「なるほど。 5段目には(ア)個あるね。」
先生「そうだね。では, 5段目まで積み重ねた立体について, 問題をつくってみよう。」
花子「先生,こんな問題はどうでしょう。」
先生「もうできたんですか, 花子さん。 どんな問題ですか。」
花子「立体の表面をペンキでぬったとき, ペンキのぬられたところの面積はいくらでしょう。」
先生「おお,なかなか難しい問題だね。 立体の下側もペンキをぬるのかな。」
花子「はい。下側にもぬります。 」
太郎「それぞれの立方体で1つの面の面積は(イ)|cmだから, ペンキのぬられた面の数を数えればいいのかな。」
先生「そうかな。 1段目はペンキのぬられた面は5つだけれども,2段目はどうだろう。」
太郎「1つの面のなかに, ペンキのぬられている部分とぬられていない部分がある面もあるなあ。2段目を上
から見た図をかいてみると, 図2のようになるね。 この図をつかって面積を考えてみよう。」
先生「2段目だけの図ですね。 1段目と重なっているところはペンキがぬられていないところだね。」
太郎「はい, そうです。 2段目の上側の面積は, 正方形の面積からペンキがぬられていない部分の面積を引けば
|(ウ)というように求めることができるよ。」
いいから,
花子「図3のように1段目をずらして考えても, ペンキのぬられた部分の面積は変わらないよね。」
三
先生「そのように考えることもできるね。 」

- 1段目
2段目
図2
図3
太郎「ということは, 5段目まで積み重ねた立体のペンキがぬられたところの面積は(エ)| cm?だ。」
花子「正解です。」
先生「よくできましたね, 太郎さん。 では応用問題です。 このとき, 一か所もペンキのぬられていない立方体
の体積の和はいくらになるかな。 」
太郎「え。やっと花子さんの問題が解けたのに, 先生からも問題ですか。 」
花子「一か所もペンキのぬられていない立方体は全部で(オ) 個あるので, 答えは(カ) cm°です。 」
先生「さすが花子さん。正解です。」
(1)(ア)~ (カ) にあてはまる数を求めなさい。
(X)にあてはまる式を書きなさい。
(3)10段目まで積み重ねた立体の表面にペンキをぬったとき, 一か所もペンキのぬられていない立方体の
体積の和を求めなさい。

Answer 1

mo1

参考・概略です

(ア)
　1段目： 1個…1×1
　2段目： 4個…2×2
　3段目： 9個…3×3
　4段目：16個…4×4
　5段目：25個…5×5

(イ)
　2㎝×2㎝＝4㎝²

(ウ)
　1段目の上側：4㎝²×( 1－ 0)＝ 4㎝²
　2段目の上側：4㎝²×( 4－ 1)＝ 12㎝²
　3段目の上側：4㎝²×( 9－ 4)＝ 20㎝²
　4段目の上側：4㎝²×(16－ 9)＝ 28㎝²
　5段目の上側：4㎝²×(25－16)＝ 36㎝²
　●5段目までの上側の面積の和＝100㎝²

(エ)
　1段目側面の面積：4㎝²×1×4＝ 16㎝²
　2段目側面の面積：4㎝²×2×4＝ 32㎝²
　3段目側面の面積：4㎝²×3×4＝ 48㎝²
　4段目側面の面積：4㎝²×4×4＝ 64㎝²
　5段目側面の面積：4㎝²×5×4＝ 80㎝²
　①5段目までの側面の面積の和＝240㎝²
　②5段目の下面の面積4㎝²×25＝100㎝²
　●5段目まで積み重ねた立体の
　ペンキが塗られたところの面積＝340㎝²

(オ)
　1段目で塗ってない立方体0個
　2段目で塗ってない立方体0個
　3段目で塗ってない立方体1個
　4段目で塗ってない立方体4個
　5段目で塗ってない立方体0個

(カ)
　2㎝×2㎝×2㎝＝8㎝³
　8㎝³×(1＋4)＝40㎝³
―――――――――――――――――
(1)
　(ア)　 25個
　(イ)　 4㎝²
　(ウ)　 12㎝²
　(エ)　340㎝²
　(オ)　 5個
　(カ)　 40㎝³

(2)
　(Ⅹ)　4×(4－1)

(3)
　8㎝³×(1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81)
＝8㎝³×285
＝2280㎝³