Question

キキ

距離空間における閉集合の証明がわかりません。
以下の画像の性質の証明を教えていただけませんか？
ちなみになのですが、閉集合の定義は補集合が開集合になることを用いています。また、画像の＝√｛｝の部分は開集合であるとわかっているもととして考えていただきたいです。

命題 1.7 (閉集合の性質) (X, dx), (Y, dy)を距離空間とし, FcX, GCYとする. このとき, FEAdx (X),
GEAdy (Y) であるならば、直積距離空間 (X × Y, d) において F×GEA』(Xx Y) である。
ただし,距離関数d:(XxY)× (X xY) →R は, 任意の(z1,h), (12,3z) € X x Y に対して,
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d(z1,h), (エ2,12)) = V {dx(21, エ2)}+ {ar(ぬっょ)}
で定義された XxY 上の距離関数とする。

大学数学