*の2次方程式x? + (m-2)x+m+1=0 …① が相異なる2つの整数
a, B (a<B)をもつとき, ①は (r-a)(x-β)=0と表せることを
調義
A-B=n型の整数の方程式(II)
CHECK2
- 23.2V6 =4·3.V2%=D 12\2 である。……(答)
CHECK /
CHECK3
難易度
絶対暗記問題 58
の左辺を変形すると,次の③”が遊は,
=300,
m,n を自然数とし,1<m<nとする。また,aとβを
し)
a=\m - Vm-1…0, β= \n - Vn-1 ……②とおく
修了。
ことB+とS=aB+}
1
aB
= 300 …3
講義
(1) m= 3, n=6のとき, a+
こで, ④と⑤の両辺を2乗して,
1
家で、
の値を求めよ。
a
B?
= 300 ……3が成り立つような、
1
= 4m
てい
a+=(2m)より, α'+2x-
(2) 等式aip+
a
「、物
深い。
開発、
数多
大教
(センター試験*)
整数の組(m, n) をすべて求めよ。
1
= 4m -2……⑦ となる。
ヒント!
= 2\m, B+ B
=2m となることから、S の値も簡単
調義
+= (2v7)°より, 同様に, β'+
B?
a
= 4n-2……8 となる。
に来まる。(2) のを、'+ー+。
問題にもち込もう。
= 300 と変形して, A·B=n型の整数
かり
コン
0, ③を3'に代入して,
両辺を4で割る。
あた
ら、
とし
(4m-2)(4n -2)= 300
4(2m-1)(2n-1)= 300
解答&解説
(2m -1)(2n-1) = 75……9となる。14·B=n型にもち込んだ
(1).a = vm -
………)より.
豊、
けで
m
(3×5°
1
ニm -Vmn-]
a
a+
Vm-Vm-1
Vm-m
Vm+m
=2Vm…の
ここで, m, n は自然数で,1<m<nより,1<2m-1<2n-1…0 となる。
m +vm-1
(m-ym-1)(Vm+Vm-1)
Vm +Vm-1
Vm+Vm-1
(2<2m<2n 2-1<2m-1<2n-1
ラー
Vm +Vm-1
照-(-1)
11
0と0をみたす自然数(2m-1,2n-1) 2m-1と 2n-1の表
の組は,右の表より次の2組のみである。
さ
東腕
分子分母に、m+ m-1 をかけた。
1|3|5|15| 2| 75
/1
2m-1
*B= \n -
Vn-1………2 より,同様に,
15| 25 15/s/3
(2m - 1,2n-1) = (3, 25),(5, 15)
2n-1
=Vn-Vn-1+
1
=m--1++fT=2\m …⑤
よって,求める自然数の組 (m, n)は,
(m, n)= (2,13), (3,8) である。 …(谷)
|2m-1<2n-1
に矛盾
2m-1>1
Vn-Vn-1
以上,O, ⑤にm=3, n=6を代入して,
に矛盾
1
= 23……の, B+
a
a+
m-1=3, 2n-1=25)2m-1=5, 2n-1=D15より
: = 2V6…………·⑤' となる。
B
(答)
次に,
出問題にトライ·21
CHECK2
CHECKS
a
S=aB+
+E+1
難易度★★★
CHECK ||
Ba
aB
三a
B+
1
=|a+
B
の解 (a、
(2V3(④より))(26(6'より)
利用して,mの値を求めよ。
182
解答は P258
183
ト
」の
CO
O0
場合の数と確率
整数の性質
4は括れなくないですか？元の式に戻してみても式が合いませんし…