Question

こある

a+b+c=2, ab+bc+ca=3, abc=2の時
a⁵+b⁵+c⁵の値を求めよ。

という問題です！
解き方を教えて欲しいです！
お願いします！

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

き

まずa,b,cを解にもつ3次方程式を作りにかかります。
それは(x-a)(x-b)(x-c)=0 つまり
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
となります。
問題の条件式を代入して　x^3-2x^2+3x-2=0
ここで注意しておきたいのが、この3次方程式はa,b,cを解にもっています。だからこの方程式に代入することができ、3つの条件式
a^3-2a^2+3a-2=0 ー①
b^3-2b^2+3b-2=0 ー②
c^3-2c^2+3c-2=0 ー③
を得ます。
ここでa^5を①の左辺で割ると、
a^5=(a^3-2a^2+3a-2)(a^2+2a+1)-2a^2+a+2
①からa^3-2a^2+3a-2は0なので結局
a^5=-2a^2+a+2 ー①’
となります。これをb^5,c^5にも②,③を使って同じことをすることで
b^5=-2b^2+b+2 ー②’
c^5=-2c^2+c+2 ー③’
となり、①’+②’+③’から
a^5+b^5+c^5=-2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)+6 -(✳︎)
となることが分かります。
あとは
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=4-6=-2
より
(✳︎)=-2・(-2)+2+6=12
と求めることができます。

数列の漸化式を使えばもう少し別の方法を取れるのですが、質問者さんが数列を習っておられるのかが分からなかったのでこのような方法を取りました。
疑問等あれば気軽に聴いてくださいね。

こある

とてもわかりやすい解説ありがとうございます！😊
数列は多分習ってないですね💦w
ありがとうございました！！😊😊