✨ Jawaban Terbaik ✨
結局は加減法か代入するかしかないので、加減してダメなら代入します。今回は加減して消えるほどそんなに簡単な形ではないから、何とか同じ形を作り出して代入します。
(1) 下の式を因数分解して(x+y)(x-y)=15であり、上式を代入して整理すればx+y=√3です。これとx-y=√5の連立方程式と考えてみてください。
(2) まずは上のa+bにそのまま代入して上式の右辺は25です。aの2乗+bの2乗の形からa+bを作り出す変形をして、(a+b)²-2ab=49-2ab
したがって、ab=12ですね。
ab=12かつa+b=7の組はすぐに3, 4(とその逆)であると見つかりますね。ですが、もし見つからなければb=12/a(a≠0)としてa+bに代入し、両辺a倍すれば二次方程式に持ち込めます。それに、二次方程式の解と係数の関係を知っていれば、求める解はx²-7x+12=0の解となり、3,4と求まります。
一旦送ります。
1問１問丁寧に教えて下さってありがとうございます🙇🏻♀️分かりやかったです!
書き忘れていましたが、(2)ではaとbを入れ換えた式は同じ式ですよね。(例えばa-bはaとbを入れ換えたら同じ式にならないが、a²+b²は入れ換えてもb²+a²で同じ式になる)
このような式を対称式と言います。対称式の性質として、「対称式は基本対称式a+bとabのみで表すことができる」というものがあります。仮に下の式がa+bでなかったとしても、対称的であることを踏まえてパッとa+b, abで表そうと考えられるわけです。
(3) これも対称式ですね。つまりx+yとxyで表されるはずであり、それができればゴールです。分数が厄介なので分母を払います。両辺xy倍すればy+x=-5xyですね。ここで勝利を確信しますね。あとは代入してやればx+y=-20とxy=4なので、(2)と同様に解けます。
(4)はなかなかパッと手が動かない難問です。さすが幕張といった感じですね。
パッと思いつきそうなのは3x-2yが2回使われているし文字で置くことですかね。3x-2y=tとしてt²+8t+16=0であるから、t=-4となりますね。3x-2y=-4という簡単な式が出てきました。
ここからは、なんとかこれを下の式にぶちこんで、xだけの式かyだけの式にしたいですね。とりあえず-2yに入れてみます。
5xy+15x-2y-6=0
5xy+15x+(-3x-4)-6=0
5xy+12x=10
ここまでくれば無理矢理3x-2y=-4からy=(3x+4)/2の形に直してやって代入して二次方程式を解けば良いですね。
あるいは、
5xy+15x=2y+6
5x(y+3)=2(y+3)
と変形してやって
y=-3である場合とない場合で場合わけをした上で(←重要)、y=-3でない場合は
5x=2と変形してやればすぐに求まりますね。こっちの方が綺麗ですが、思い付くかどうかの問題です。思い付かないならば諦めずに上のように泥臭くやればいいんです。