Question

Seifert-van Kampen

f(x)=f’(x) を満たす実数値初等関数 f(x) は
f(x)=c･e^x (c は実数定数 ) に限られますか？
可能であれば，証明または反例を与えていただけるとありがたいです。

また， f(x) を初等関数に限らない実数値関数とした場合にはどのような結果が得られますか？

どちらか 1 つだけでもお答えいただけると大いに助かります。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

哲治

この場合、指数関数に限られます。

哲治

解の一意性を証明はかなり難しいです。
ポントリャーギンの常微分方程式から関連ページをアップしておきます。

哲治

続き

Seifert-van Kampen

ありがとうございます！！！

x’(t)=αx(t) の特殊解 x(t)=c･e^{αt} ( c は任意の実数) を見つけてから，この特殊解がすべての解をつくすことを示す流れですね。

この微分方程式の解を x=φ(t) とおき，初期値を (x₀, t₀) と設定すると， c の任意性から x(t)=c･e^{αt} が初期値 (x₀, t₀) をもつように c をおける🙂

そうすると，解は延長不能であることと， 2 つの解の初期値が一致することから，
φ(t) と c･e^{αt} は恒等的に等しいことがわかる，
という感じかな？

x’(t)=x(t) となるのは α=1 の特別な場合で，
このときこの微分方程式の解は x(t)=c･e^t ( c は任意の実数 ) に限られると分かりますね！