Question

ふわり

線の引いてあるところで、なぜそのような関係になっているのでしょうか？
その関係はどの式からわかりますか？
よろしくお願いします

11 漸化式と極限
Example 11 *★★**
(n=1, 2, ………) で定められる数列{an} がある
2
3
an
a=3, an+1
an
不等式 a,>V6 を証明せよ。
不等式 a-6く (an-16)? を証明せよ。
(17 大阪府大)
( lima, を求めよ。
key 数学的帰納法で示
解答(1) [1] n=1 のとき, a=3>V6 より成り立立つ。
[2] n=k のとき、 ax>V6 が成り立つと仮定すると
す。
V6=(a-/6)。
2ak
a4+1-/6=+6
よって、n=k+1 のときも成り立つ。
[1]. [2] から,すべての自然数nについて an>V6 終
-
2ak
(2) 2<、6<a。 であるから
G-/5-(an-/6)<(an-16_1(an-/6)* 国
*今母が在の方が大きくなる。
2a。
2-2
(3) b,=a,-V6 とおくと, (2) から
key (2)の不等式を繰り
返し用いて、はさみうち
この関係式を繰り返し用いると, n22 のとき
0くん、くーのぷく合めざく
の原理を利用。
424-1」6,24-1
16|-|3-6<1より lim b"=0 であるから、
2月-1
はさみうちの原理により
lim b,=0
月→ 00
すなわち
lima,=(6

Answer 1

mo1

参考・概略です

(1)で【a_(n)＞√6】を証明してあるので

　b_(n)＝a_(n)－√6　と置くと、

　　0＜b_(n)　･････････････････　①

(2)で、【a_(n＋1)－√6＜(1/4){a_(n)－√6}²】を証明してあるので

　b_(n)＝a_(n)－√6　と置くと、

　　b_(n＋1)＜(1/4){b_(n)}²　

つまり、

　　b_(n)＜(1/4){b_(n－1)}²　･･･　②

②より

　　b_(n－1)＜(1/4){b_(n－2)}²　で

両辺が正であることから、両辺を2乗し

　　{b_(n－1)}²＜(1/4²){b_(n－2)}⁴

両辺を(1/4)倍して

　　(1/4){b_(n－1)}²＜(1/4³){b_(n－2)}⁴　･･･　③

★①，②，③　から

　　0＜b_(n)＜(1/4){b_(n－1)}²＜(1/4³){b_(n－2)}⁴

★以下同様に、両辺を2乗し(1/4)倍することによって

　(1/4³){b_(n－2)}⁴＜(1/4⁷){b_(n－3)}⁸

　(1/4⁷){b_(n－3)}⁸＜(1/4⁷){b_(n－4)}¹⁶

　・・・・・

となっていきます。