nを7で割ると5余るということは、整数kを用いてn=7k+5と表せます。
これはそんなに難しいことではなくて、
26÷7=3...5 → 26=7×3+5
(26個のりんごを7つずうかごに入れたら3つのかごに入って5個余る→7個のりんごが入ったかごを3つと5個のりんごをあわせたら26個)
みたいに小学校の算数で習ったことを文字で表しただけですね。
よって
n²=(7k+5)²
=49k²+70k+25
=7(7k²+10k+3)+4
より
n²=7×整数+4で表せるので、余りは4です。
(2)
同様にm=7l+2(lは整数)と表せるので
2m-3n
=2(7l+2)-3(7k+5)
=7(2l-3k)-11
=7(2l-3k-2)+3
となり、7×整数+3となるので答えは3です。
なお、この問題に関しては、適当にあてはまる数を入れてやれば小学生でも解けます。
nは7で割って5余るので、例えば12とかが考えられます。ゆえに(1)は12²÷7=20...4より4ですね。
mは例えば23なんかがありますが、
2×23-3×12=10となるので10÷7=1...3より3です。
なお、高校で習う合同式を使ってやれば正攻法でも簡単に出ます。
(1) n≡5(mod7)より
n²≡5²≡4(mod7)
(2) m≡2(mod7)より
2m-3n≡2×2-3×5≡-11≡3(mod7)
