✨ Jawaban Terbaik ✨
名前はわかりません。
パラメータ表示はできると思います。
例えば、球面を連続的に変形してその形にできるので、球面上の点を指定するパラメタ(極座標など)を変形後の対応する点のパラメタにすれば、変形後の曲面上の全ての点にパラメタを割り振ることができます。
曲面に適当にメッシュを張ればいいのでなんでもいいと思います。
なんならR^3に埋め込まれた全ての曲面に対してパラメタ化が可能であるように思えたので少し調べてみました。
https://math.stackexchange.com/questions/1895145/existence-of-surface-parameterization
多分、パラメタ写像に滑らかさを要求しないのであれば、全ての曲面で パラメタ化が可能で、さらに微分可能性や位相を保つ(同相)、可逆性などを要求すると不可能な曲面が存在するのだと思います。
なるほど。
具体的なパラメタを与えやすいのは回転体だと思います。凹ませた球面だと対称性が悪いので底面も凹ませて、カッシーニの卵形線として回転させるのはどうでしょうか。
実際のガウス曲率の計算はmathematicaなどに任せるのが現実的でしょうか
実際に計算しなくてもいいなら、
(底面を含む)円柱の"角"以外は曲率0として、"角"が嫌だから"角"を滑らかに接続した曲面、と変更すれば良さそう。
今思ったんですけど、凹んだハンバーグって曲率負になりますかね？
曲率が負の点では鞍点状になるはずで、凹みの中心点はこれに該当しないように思います。
カッシーニの卵形線をy軸周りに回転させたものも同様です。
カッシーニの卵形線をx軸周りに回転させたものは良さそうです。
それともっと簡単なもので
r=2+cos(2θ)
をx軸周りに回転させたものが良さそうです。
いろいろアドバイスありがとうございます。
少しアドバイスを元に考えてみたいと思います。
ベストアンサーは少しお待ちください。
同相か否かというところはよくわからなかったんですけどガウス曲率負であるところがあるということは手計算で確かめられました。
いろいろアドバイスありがとうございました。
r=2+cos(2θ)の回転体についてmathematicaで計算してみました。
ピーナッツ型のくびれのところで曲率が負(最小)になっていることが計算でも確かめられました。
R^3の距離が入っているのでそれを位相とすれば、同じ緯度経度をもつピーナッツ上の点と球面上の点を対応させる写像が同相写像になりそうですが、北極と南極の点で経度が不定になるのが厄介かも。私は数学科じゃないので位相についてはよくわかりませんが。
ピーナッツは単位球面上の点たちを2+cos(2u)=2(cosu)^2+1=2z^2+1倍原点中心に膨らませたものだから
φ:単位球面→ピーナッツ
φ(x,y,z)=(2z^2+1)(x,y,z)
ψ:ピーナッツ→単位球面
ψ(x,y,x)=(x,y,z)/√(x^2+y^2+z^2)
とすると
φψ=id, ψφ=id でφ,ψともに連続写像
これで同相ということになりませんかね
具体的なパラメータ表示の作り方とかってあるんでしょうか？
実は球面に同相だが「至る所でガウス曲率正」でないものを構成しようと思っていて思いついたのが球面を凹ませた形でした。ただガウス曲率を計算するためには私の今の知識だとパラメータ表示しないと厳しく困っていたということです。
もし何か教授できることがあればご教授頂きたければと思います。