Question

愛拉

想請問第（2）小題和第（5）小題怎麼解？有關機率的問題

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第 3
共 5
| Twith
數學甲
百
345
2
5. 數學課老師用取球方式進行遊戲,由同學從装有相同材質的紅球 ml 顆與白球n顆(m,n皆
為正整數)的不透明箱中取球,規定「每局」為連續取球兩次,每次取出一球記錄顏色後放
回箱中(每次取球結果互相獨立且每一球被取出的機率相等)。每一位同學玩遊戲最多三局,
過程中,若某局取出兩球為同色球即「失敗」且結束該次遊戲換下一位同學;若連續三局
取出相異色球,則此同學遊戲「成功 請選出正確的選項。
1當m=2,n=3時,玩一次遊戲成功的機率為
cici ?
%
2x3
2
6
5 7 50, 66
-
25
to 3 3
syg
2*7
(2不論箱中裝有多少顆球,一次遊戲成功的機率不大於-
8
(3)當 | ml-n|(紅白球數差距)越大,玩一次遊戲成功的機率越小
(onin) 12,15. (412) 444 - 7
760
(4)當m=n時,連續 60 位同學玩遊戲全都失敗的機率為
-
(5)可以找到適當的(int, n),讓連續玩遊戲 60 次全都失敗機率大於
2180
u)

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

o

圖片轉正謝謝

2.
成功機率為 P = 2^3 * [ mn/(m+n)^2 ]^3
由算幾知 (m+n)^2 >= 4mn
P <= 2^3 * [2^(-2)]^3 = 2^(-3)

5.
令 m = 1，n → inf.
失敗一次機率趨近於 1
則六十次皆失敗機率也趨近於 1

愛拉

對不起，我原本是想說，橫的可能字會較大較清楚~
請問需要三次方是因為每一次要三局的原因嗎？

愛拉

還有請問算幾不等式那邊，如果把你寫的那個成功的機率代入，有點複雜，不太知道怎麼算？

o

三次方是三局沒錯
每局不失敗的機率叫 p 好了
p = 2C1 * m/(m+n) * n/(m+n) = 2mn/(m+n)^2
所以 P = p^3 = 8 * [ mn/(m+n)^2 ]^3
極值發生在 m = n 時(算幾)
此時 P = 8 * [ mm/(2m)^2 ]^3 = 8/64
這樣可以嗎

愛拉

我可以說明一下我理解的嗎？所以你的第二次算法就不是代入算幾不等式的公式（a+b/2大於等於√ab）的公式，而是利用算幾不等式的準則（a要=b）來直接算出p的三局的機率是嗎？

o

其實從頭到尾都是同一個不等式。我第二次是特別討論極值發生時的情況，也就是 <= 裡面的 = 這個特例，所以它仍然符合算幾不等式的結果；其它一般情況則是 <= 中的 <