7実数解の個数/定数項以外に文字走!
関数f(z)=az°ー(a+3)z+a+3について, 次の問いに答えよ.ただし, a は0でない実数とする
(1) f(z)の導関数をf^(z)とする. zの方程式f'(z)=0が実数解をもつようなaの範囲を求
め,またそのときの実数解をすべて求めよ。
(2) ェの方程式f(z)=0が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ.
(宮城教大)
3次関数y=f(ェ)が, ェ=a, Bで極値を持つとき,
f(a)f(B)の正負で解の個数がわかる
ナ(a)f(B)が,正,0, 負のどれであるかによって,f(z)=0 0 の解の個数が分かる。
(i) f(a)f(B)<0 → f(a)とf(B)は異符号【f(α)f(B)<0なら, αキB]
(i)f(a)f(8)=0 → f(a)=0 またはf(B)=D0
()f(a)f(B)>0 → f(a)とf(B)は同符号
であることに注意すれば,(i)~(道)のグラフは, (F(z)のr°の係数が正とする)
Ai
a
となる.実数解の個数は, グラフと 軸の共有点の個数なので, ①の実数解は,
(i)のとき3個
(i)のとき2個
()のとき1個
■解答
(1) f'(z)=3ar'-(a+3)であり, a+0, f'(z)=0より,
左辺は, a>0のとき正なので、
0>a>-3のときは負, -3>a
のときは正となる。
a+3
a+3
22=
3a
右辺が非負のとき, エ=±,
(=±y)とおく。
3a
a+3
-20. この左辺は, a=0,-3 の前後で符号変化し, aハ-3, 0<a
3a
-3 0
(2) Oが成り立たなければならないから, 以下①の下で考える。
f(z)=0が3個の異なる実数解を持つ → f(y)f(-y)<0
○f(y)f(-y)<0ならば,
Yキーyなので, エ=y, -yで極
値を持つ、
2
1
f(z)をf'(z)で割ると,商一,余り -号(a+3)エ+a+3となるので
3
f(z)=f(z)-(a+3)エ+a+3. これにェ=yを代入して,
(8-Pp.14 で紹介した「次数下げ」
2
2
f()==(7)-(a+3)y+a+3=(
f(y)=0
同様にして,「(ーy)=(2ッ+1) (a+3)
+1
a=-3のときf(y)f(-y)=0 で不適であり, (a+3)?>0に注意すると、
f(y)f(-y)<0
4
a+3
23a-12
1-がく0 →1-
12
9
9
3a
27a
23
0
12
23
07 演習題(解答は p.127)
山宙新と +る
2次方想 3-2a212m」
