Question

キサントフィル

ア〜エの3乗の計算は出来ましたが
オとカが何故0と1が答えになるかが
分からなかったので教えていただきたいです。
それ以降の解説もしていただけると嬉しいです。

*71 3乗してiとなる複素数zを求めよう。
2=x+yi とおく。ここで, x, yは実数である。
等式(x+yi)°=i において (x+yi)°=x°-ア
xy+(ウ x国yーy)i で
回yーy)i で
あるから,x, yは連立方程式
x-アxy.
|オ
の解である。
ウ回yーy=Cガ
x=0 のとき,y=[ギク である。
また,xキ0 を満たす解は x=±
ゲ
サ
である。
ソ=
9
コ
以上から,3乗してiとなる複素数zが3つ求められた。
さらに,それら3つの複素数の2乗の積は [シス」である。[18 センター試験追試)

71 (ア) 3 (イ) 2 (ウ) 3 (エ) 2 (オ) 0 (カ) 1
/3
2
(キク) -1
(サ) 1 (シス) -1
E)
解答の指針
23=iを満たすzを求める問題である。
本間のように係数や定数項に複素数を含む方程
式を解く場合は, z=x+yi (x, yは実数) とし,
次の性質を利用して x, yを求めるとよい。
a, bが実数のとき
0=9C40=0 > 0=D29+D
(x+ yi)°=x"+3x?.(yi) +3x·(yi)?+(yi)?
=パー73xy 2+(7 3x-2yーy)i
ウ

116
ニュースタンダード I·A+IIB
-3xy", 3x°yーyは実数であり, (x+yi)°=i
J-3xy=*0
から
|3ッーー
のより x-3y?)=D0
②より x3xーy)=D1
[1] x=0 のとき, ① は常に成り立ち, ② は
ー=1となる。
よって,(y+1)(yーッ+1)=0 となり, yは実
数であるから
[2] xキ0のとき
Oより x-3y=0
よって x=3y?
これを2に代入して
ャ 2
の
2
ソ=キク-1
X3-3y?-y)=1
8y°-1=0
(2y-1(4y?+2y+1)=0
1
yは実数であるから y=-
このとき デ=3デ=3())ー)
/1 \2 3
2
4
よって x=+V3
2
したがって エ=±、ー
サ1
ソ=2
[1], [2] から, 3乗してiとなる複素数 zは
2タしに
V3, 1
2=-i, 士一。+
化入すると…
さらに,それら3つの複素数の2乗の積は
1
V3
1.2
2
2
V3
=i?=シス-1
2
2
V3
V3
1
+iは方程式
2
別解 -i,
i,
23-i=0 の解であるから, 解と係数の関係に
(-i)V
2
V3
+会=i
より
2
よって
=i?=シス_1