Question

凛

(3)を教えてください！
お願いします！

右の図のような平行四辺形 ABCD がある。
6
対角線 AC と BD の交点をOとし、
A
D
辺 BC上に点Pを,
BP:PC = 1:3となるようにとる。
また,APと BD の交点をQとし,
R
対角線 AC上に点Rを,
QR/BC となるようにとる。
このとき,次の問いに答えなさい。
B
P
C
3
(1) BQ:QD を最も簡単な整数の比で求めなさい。
(2) QR:BC を最も簡単な整数の比で求めなさい。
(3) 2点 P, Rを線分で結んだとき,
△APR の面積と 平行四辺形 ABCD の面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

Answer 1

Neco

まずAPRをAQRとQRPに分けて考えます
QRPは底辺がQRなのでQRP＝QRCです
BQとQDの比は出しましたよね？ではQOとBDの比は出せますよね？

凛

QOとBDは3:5ですかね！

Neco

残念ながらちがいます
ただ惜しいところまでは行っています

Neco

BQを1とすると、BQPとDQAは相似の関係です
また、平行四辺形の特性の一つに「対辺の長さが等しい」というものがありますね
よって、BQ:DQは1:(1＋3)により1:4です
ここから、BQを1＋4より5としてみます
すると、平行四辺形の「対角線はそれぞれの中点で交わる」という特性から、BO＝DOであり、BOは5÷2より
2.5として考えることができます
先程言った通り、BQは「1」より、QOは「1.5」で、BDは「5」です
より、QOとBDを簡単な整数の比で表すとするならば両方を×2して、3:10です

凛

わかりました！続きお願いします！

Neco

1番最初のコメントで言った通り、QRP=QRCです
これより、APR=ACQということができます
そして、ACを底辺として考えると、ACQ:ABCDはQO:BDと言うことができます
(ABCDをABC 2コ分だと考えるとわかりやすいです)

Neco

１つの問題にここまで時間をかけることになってしまい申し訳ないです
解き方を理解していただけたようであれば幸いです

凛

やっと理解できました！親切に教えていただきありがとうございます！