Question

あいえうお

この問題の2番の解き方を教えてください。
答えは60個だそうです。

6. 右の図のサッカーボールは、12個の正五角形と
20個の正六角形の合わせて32面でできた多面体であ
る。どの頂点にも1個の正五角形と2個の正六角形の
面が集まっている。
(1) この多面体の辺は何本あるか。
(2) この多面体の頂点はいくつあるか。

Answer 1

LUX SIT

正五角形同士は隣り合わないが, 正六角形を介して一様に隣り合っていることがポイントです.
***
12個の正五角形の頂点を数えれば, 多面体すべての頂点を過不足なく数えあげていることが分かります.
したがって5*12=60個になります.

LUX SIT

[注]
もちろん正六角形に注目しても解けます.
ある正六角形に注目すると, すべての頂点は隣り合う正六角形と共有するから6*20/2=60個[二重に数えているので2で割りました].
***
(1)で求めた辺(Edges)の数(5*12+6*20)/2=90本, 多面体の面の数(Faces)32面だからオイラーの多面体定理V-E+F=60-90+32=2
[VはVertices. 単連結な多面体の場合はχ=2. これは大学レベルです.]を確かに満たしています. 結果は知っておいていいでしょう.