-●51のn乗根
複素数aがa=1を満たしているとき,A=(1+a)(1+a°) (1+α*)(1+α°)の値を求めょ
(東北学院大·文,教
(イ)複素数zはz=cos72°+isin72° とする。
(1)2"=1となる最小の自然数nはn= コである。
(2)2+z+z?+z+1=コ, cos 72°+cos144°=
ケ
コである。
(西南学院大·文
zガー1を因数分解すると,
/4
2"=1を満たすa (=1のn乗根)
22
Z1
となるから,z"=1のときzキ1ならば, z"-1+z"-2+…+z+1=0 を満たす。
次に,ド·モアプブルの定理を用いて, z"=1を解いてみよう. z"=1により,
|2|"=|2"|=1であるから,|z|=1であり, z=cosθ+isin0 (0S0<2x)と
おける。ド·モアブルの定理により, z"を計算する。
z"=1のとき,cos n0+isinn0=1
* n0=2x×k (0<n0<2xXnにより, k=0, 1, 2, …, n-1)
23
0
24
25
: coS n0=1, sin n0=0
第=6の場合
0を求め,1のn乗根は, Z』=cos|
2元
×k)+isin
2元
-×
<k)(k=0, 1, 2, …, n-1) のn個。
n
点は,図のように点1を1つの頂点とする正ヵ角形のn個の頂点になっている.
(aie)+an
■解答
(Snie)
(ア) α'-1=0により,(α-1)(α^+α°+α'+a+1)=0
a=1のときA=24=16である. 以下, αキ1のときとする。
a=1のとき, α=α".α°=q°であるから,
-① ■Aを(ひとまずはα'=1を使わ
ず)展開すると,
1+a+a?+…+al5
ここでa==1を使うと
e 01+a+a'+α°+a
=(1+a+a°+α) (1+α°+α*+α?) (: α'=1 により α'=α")
αキ1とのにより, 1+α+α*+α°+a*=0……② であるから,
A=(-a')(-a) =α*=1
(イ) (1) z"=cos(72°×n)+isin(72°×n)… 0 であるから.
z"=1 → 72°×nが360°の整数倍→ nが5の整数倍
よって,求める nは, n=5
(2) 2-1=0により, (z-1)(z*+z°+z?+z+1) =0
2キ1により,+z'+z'+z+1=0
これに①を代入する. 実部=0 である. 72°×5=360° に注意して、
cos(72°×4) +cos (72°×3)+cos (72°×2)+cos72°+1=0
. cos(-72°) +cos(-72°×2)+cos(72°×2)+cos72°+1=0
となるので,aキ1のとき②から
A=1
Coot
く)
0aidta)
21
72°
|1=z0
23
: 2cos72°+2cos(72°×2)+1=0
は
cos72°+cos144°= -
2
1
24
05 演習題(解答は p.66)
(1) 複素数zが, z'=1, zキ1を満たすとき,(1-z)(1-z")=■ア],
|イコ
1-2
1-z?
(2)複素数zが, z5=1, zキ1 を満たすとき,(1-z)(11z")(1-z') (1-z')=Dウ」,
国
1
(東京理科大·理工)
(2) 2-1が使えるよ
うな2つをベアにする。
1-
1-2?
1-2
1-2
54
