Question

あみ

数列の複利計算です。
②≧①になる理由を教えてください。

1 等差数列と等比数列
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Check
題 271 複利計算
年利率5%で100万円を借りて,ちょうど1年後から毎年10万円ずつ
「返すとき,何年後に返し終わるか.
ただし,1年ごとの複利で計算し,log1o1.05==0.0212, log1o2=0.3010
とする。 1o og
え方 複利計算は,元金をS円, 年利率をr, 毎年の返済額をa円とすると,
元金S円のn年後の金額は, S(1+r)” 0 円23
二方、1年後から毎年a円ずつ積み立てたときのn年後の金額は,
ata(1+r)+ +a(1+r)"-2+a(1+r)"-1 .. ②
ここで,のS2となるときを考える.(次ページ Column 参照)
100万円を年利率5%でn年借りると,返済の総額は,
100×(1+0.05)"=100×1.05" …)
また,毎年の返済額 10万円を,年利率5%で積み立てた
ときのn年後の総額は,+1){-(+ ト
10+10×1.05+10×1.05+…+10×1.05"-1
10(1.057-1)
単位は「円」ではなく,
「万円」で計算してい
る。
返済額10万円にも年
利率5%を掛けていく。
初項10, 公比1.05の
等比数列の初項から第
=200(1.05"-1) 2
1.05-1
n年後に返し終わるとすると, ②NO となる。
200(1.057-1)M100×1.05"
より,1.05"22
両辺の常用対数をとると,
ー(110g101.05"2logi02
したがって,
logio2=0.3010, log1o1.05=0.0212 より,
0.0212n20.3010
n項までの和
常用対数(p.312参照)
log1o1.05"
=nlogio1.05
nlogio1.052log102 + 1)o}-"(x+0
(p.312 対数の性質
参照)
金式 (+
金の 0.3010
n2
0.0212
=14.198…
nは自然数
よって、n215 となり, 15年後に返し終わる。

Answer 1

ととろ

次ページのColumnというやつを見れば書いてあると思いますけど、、

返済せずに5%で積み立てたとすると、借金は5%で増えていき①、積立金も5%で増える②
もし返済したなら①-②が借金の残りとなる
①-②≦0になった時に返済完了
ということだと思います。

ととろ

わかりにくいとは思いますが、

最後に返済した10万円はそのまま借金を10万円減らす効果しかない
最後の1年前に返済した10万円は借金を10万円と1年分の利息10万円×5%を減らす効果がある
・・・
初年度の返済金10万円は返済期間全体に渡って利息を減らす効果がある

と考えるとイメージできるかな

あみ

難しいですね…(^_^;)
わざわざありがとうございます！
粘ってみます！