例題1T| 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2)
/tのA, (B, (C)を満たす3つの自然数の組(a, b, c)をすべて求めよ。ただし,
479
OOOO0
くろくcとする。
a b, cの最大公約数は6
あTSS
bとcの最大公約数は 24, 最小公倍数は 144
B
4章
0aとbの最小公倍数は 240
17
|p.476 基本事項
計>前ページの基本例題110 と同様に,最大公約数と最小公倍数の性質を利用
2つの自然数 a, bの最大公約数をg, 最小公倍数を1, a=ga', b=gb'とすると
1 a'とb' は互いに素
(A)から,a=6k, b=6l, c=6m として扱うのは難しい(k, 1, m が互いに素である,とは
仮定できないため)。(B) から 6, c, 次に, (C) から aの値を求め, 最後に (A)を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,6=246, c=24c'(b', cは互いに素でぴ<c)とおける。
最小公倍数について 246'c'=144
2 1=ga'b'
3 ab=gl
T9AHO
これから6,c'を求める。
解答
-1+na-8+ ()
の前半の条件から, b=246', c=24c' と表される。
ただし,6, c' は互いに素な自然数で が<d …
の後半の条件から
の
246'c'=144 すなわち b'C=6 8+( <gb'c=ln
はす(1+8-(1+0
これと0を満たす ', c' の組は
b=246', c=24c' J
(6, c)=(24, 144), (48, 72)
Aから,aは2と3を素因数にもつ。
240=2*-3-5
ゆえに
AS
る丁 の(最大公約数は 6=2-3
また、(C) において
240=2*-3-5
[1] 6=2°-3
[2] b=2*-3
これからaの因数を考え
90=24(=2°.3) のとき,aと24.の最小公倍数が240 であ
るようなaは
これは,aくbを満たさない。
2) b=48 (=2*-3) のとき, aと 48 の最小公倍数が240 であ
a=2*-3-5
ただし カ=1, (2, 3, 14
a=30
る。
るようなaは
a<48を満たすのはカ=1の場合で,このとき
30, 48, 72 の最大公約数は6で,(A) を満たす。
a=2?-3·5
以上から
(a, 6, c)=(30, 48, 72)
ただ」
最大公約数と最小公倍数
