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基本 例題117 余りによる整数の分類
OOOO0
nは整数とする。次のことを証明せよ。 の(1) 共立薬大,(2) 学習院大)
(2) n°+n+1は5で割り切れない。
0 n+2n° は3の倍数である。
好 ささ
1)
p.485 基本事項2
重要119,120
針>すべての整数は,正の整数 mを用いて,次のいずれかの形で表される。
mk, mk+1, mk+2, …, mk+(m-1)
4
(kは整数)
Lmで割った余りが0, 1, 2,
…., m-1
1
そして,この mの値は,問題に応じて決める。
1)「3の倍数である」=「3 で割り切れる」であるから, 3で割ったときの余りを考える。
したがって,整数全体を,3k, 3k+1, 3k+2 に分けて考える。 )
(2) 5で割った余りを考えるから,整数全体を, 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4に分
けて考える。
余りで分類
CHART整数の分類
mで割った余りは 0, 1, 2, , m-1
mk, mk+1, mk+2, ……, mk+(m-1)
一
ちら01+
解答
(3k-1, 3k,3k+1と表し
てもよい。この場合,
3k+1と3k-1をまとめて
3k±1と書き選
n*+2n°=n°(n°+2)
=(3k土1)°{(3k土1)°+2}
n %3 (3k土1)°(9k土6k+3)
=3(3k土1)(3k±2k+1)
T8]
として、3×(整数)の形にな
ることを示すこともできる。
すべて3×(整数)の形。
|0 すべての整数nは, 3k, 3k++1, 3k+2(kは整数)のいず
れかの形で表される。
n*+2n°=n°(n°+2) であるから
[1] n=3k のとき
n*+2n°=9k°(9k°+2)
=3-3k(9k°+2)
生考示校:
12] n=3k+1のとき n*+2n°=(3k+1)°(9k°+6k+1+2)
=3(3k+1)°(3k°+2k+1)
(複号同順)
3] n=3k+2 のとき n*+2n°= (3k+2)°(9k°+12k+4+2)
=3(3k+2)(3k°+4k+2)
である。
あって n*+2n?は3の倍数である。
0)
15k-2,5k-1,5k, 5k+1,
ｎ＝５ｋ＋１のとき
n^2(n^2+1)＝（５ｋ＋１）^2（５ｋ＋２）^2＝・・・
これが最終的に ３（ ）という形にできるかどうか・・・
できるのなら５ｋ＋１などでもよいことになる。
できないのなら、どうしてできないのか（３ｋ＋１ならどうしてできるのか）を考えてみる。