Question

あいうえお

至急🙏🙏🙏
(2)です。マーカー部分に分かりません。どなたか教えていただきたいです。

8·14
関数f(t)はf(0)=0をみたし,つねに
110 3
f"(t)20であるとする. u(x)=| f(t)dt とおく.
ェ20のとき, u'(x) N0, u(z)20であることを示
せ。
関数g(s)は,つねにg"(s)20をみたすとす
る。a<bのとき, 不等式
b
S1C
a+b
| g(s)ds2(b-a)g(-
大泉
を示せ。
2
a
(05 大阪市立大·理一後)
C9

8.14 ■抽象的関数の定積分に関する不等式
-o
元さ
d
(J f(t) dt ) =f(x) がそのままの形では使
dz
えません、f(ェ) の原始関数を F(x)とおくと,すっき
り書くことができます。
また,®=(b-a)g(“)なので,①は,
(2)(1)に結び付けます。まずは,左辺にまとめます。
積分区間が,[-2, z] から,[a, b] になっているの
で、区間[-, z] の真ん中の0が区間 [a, b]の真ん
Sacas-(b-a)()20
「s2(b-a)()
a+b
a+b
a+b
中の
2
に合うように変数変換することを考えて,
別解 [bの関数として見る]
解答のような関数を設定します。
h(z)=(s)ds-(エ-a)()とおく.
xta
(1) f(x)の原始関数の1つをF(x)とすると,
[h(a)=0 であるから, h'(z)20 (ェ>a) を示せば
h(z)20 (zZa)が導ける. g"(s)N0によりg'(s)は
非減少関数であることに注意する]
u(x)=() dt=F(z)-F(-x)
'(x)=(F(x)-F(-ェ))=f(z)+f(-x)
u"(x)=f'(x)-f"(-ェ)
f"(z)20 なので, f'(z)は非減少関数である。
ェ20のとき, NIaであり, f'(x)2f'(-2)
関 公 (8)
. () (ローエ)-()8-(2)0-(2)4
xta
…の
ここで平均値の定理を用いると, ェ>aのとき,
g(z)-()-(ェ-)が(c).
x+a
エ+a
よって, u"(x)=f"(z)-f'(-z)N0
u'(0)=f(0)+f(0)=0 と合わせて, x>0で,
2
エ+a
かつ
-<c<xを満たす実数cが存在する
2
u'(x)20
これと,u(0)=F(0)-F(0)=0 より, zZ0で,
Ob (Onia-)0u(x)20 x) 0mia
のでの, 6より,
が(土)-r)-→()}
エ-a
+a
2
(2) [「foce)- ()420を示せばよい
g"(x)20より, g(x)は非減少関数なので,
お るこの0
a+b
g(c)z()
エ+a
2
h(x)=g(エ+
a+b
a+b
J (9)
よって,H(x)N0 (x>a)
h(x)は, ェ>aで非減少関数である。 5こつ
h(a)=0 なので, h(x)20 (x>a)
b>aなので, h(b)20
2
60h0円
a+b
2=
a+b
h(0)=g
=0
atb
a+b
K(z)=g(エ+). h"(x)=g"(z+)20
これより,「g(s)ds2(6-a)g("+b)八
関数h(z)は,(1)の条件を満たすので, も①(S)
の注(1) 別と同様に, ⑦で平均値の定理を用い
は
ると,
f'(z)-f'(-x)== {x-(-z)}f"(c) (-xScMx)
を満たすcが存在します。
b-a
0.
|ah(x)dz20
b-
IS
tん0n 2
が成り立つ,左辺を計算すると,
20, f"(c)20により, f'(z)-f'(-x)N0
b-a
島()-())
a+b
a+
dx
が分かります。
2
■コメント
g"(s)20により, y=g(s)は下に凸で、
(2)の不等式は,右図の
b-a
a+b
de
b-a
a+b
I+
2
dr
0
D
リ=g(s),
F
b-
b-a
|2
3 T
|g(s) ds=(図形 ABCD)
H
2
E
a+b
と変数変換すると, ds=dz
2
2(台形 ABFE)
=(長方形 ABHG)
'a+b
っで, s=z+
(O201l
A
b.
Bs
a+b
2
学
b-a
b-a
b-a
2
なので、
という関係より, 納得することができます。
101
エ
2
2
S
b
a