Question

しゅん

数学の質問です。
この問題なのですが、問題の不等式において整数xが10個であるのをみたすaの整数解を求めよとありますが、自分は因数分解してxの範囲をaで表して、2つの解の差をとってそれが10より大きく、かつ11未満とすれば良いというふうに判断して解いてみたのですが、最後にa＝16(不適の解)が出てきてしまって、解答みてみたら全くやり方が違ったのでもしかしたら範囲の絞りが足りなかったのかと自分は思ってるのですが、どうでしょうか...?
この解答の仕方ならどのくらい点はもらえますか？またこの解き方に不備があれば教えて下さると嬉しいです。

73 xの2次不等式
6x?-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) <0
を満たす整数xが10個となるように,正の整数aの値を定めよ。
[12 東京慈恵会医大)

No. t1) 48
37
Date
<だ> 6x.(160+7)(2et1)C5a+2)-0
-Gar))
Qatl)
-(10at4)→
(6at3)
3
ーフ
マ-(16a+7)
2
13x- 5a-43(2x-2a-1)50
56+2
2atL
Iミ
こ
35at2
22+1
a>0より 50
2at(
5at2
3
よって、
9
ha2 2011 104-0ょう.40円1
2at1 10 at4 60+3
4a+1
6.
4at1
6 511
60<4a+L- 66
54< 4a<65
くa<年
ここから、10く
59
ac要で数々e-15と巻-16
59
で整数aは4
0-15のとき
0-16aとき
15.5<x <5. 適する。
通する
2
3.
<e< 16占く火<<7.い、不適
すって、Q=15

となり,(*)は仕思の天然の eに対しても
y, 2
よ-
ま
に成り立つ。
したがって,求めるaの値の範囲は
a21
+1
さ
73 6x2-(16a +7)*+(2a+1)(5a+2)<0から
(2xー(2a+1)}{3x-(5a+2)}<0
5a+2
b
て
2a+1
<0
…0
Xー
3
4a+1>0.
よって
こし 0
0A (2
5a+2 2a+1
2
75
ここで
3
ニ
6
(a>0より)
って
5a+2
く
3
<1
2a+1
コ, b)20
ゆえに
2
0
したがって,①を解くと 2<
5a+2
くxく-
3
28%。
の
2a+1
2
理すると
20
2a+1
ー=a+
2
1
より aく
2a+1
<a+1
2
り立つ条件
aが正の整数のとき,②を満たす 10個の整数は
に限られる。
=0 ……の
なるが,こ
D立たないか
よって a+10<-
5a+2
3
-ハa+11
5a+2
3
a+10<
より
a>14
て常に成り立
5a+2
3
- ハa+1l より an
31
33
a)?x?<0
31
したがって 14<aハ
は整数であるから
a
x<0
a=15
成り立つ条件は
74 (1) x+
X-
4
P

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

あっほ

aの2つの式が小数になるかもしれないので、
仮に1.9＜X＜11.1となった場合、
11.1−1.9＝9.2になるため、必ずしも10＜＜11でない可能性があります。
なので、若干ですが、条件が間違っているかもしれないです。
点数は出題者の意図が条件の決め方にありそうなので、３分の１から半分と思います。

しゅん

なるほど...ということは、それが実数解が10個ある時の差の最小値であると思うので、逆に最大を取ったら10.8になったので、もしこの方法で範囲を絞るなら、その9.2≦4a＋1/6≦10.8とすれば差の範囲は確実に示せてるのでしょうか...?逆にここまで頭をひねらなければ行けないほどの方法でやるより解答のようにやるべきだとは思いますがどうしても気になってしまいます。

あっほ

解答の通りやるほうがいいと思います。
範囲を絞るとしたら、
1.999999＜＜11.000000001
とか
1.00000001＜＜11.99999999
とかもあるので、最小を9.1、最大を10.9でやるかもっとざっくり9と11でやるかになりそうです。
どちらにしても、出てきたaの値が正しいか試す必要はあります。
だめとは思いませんが、範囲に漏れが出やすいため、解答のやり方がベターだと思います。

あっほ

あと、今回ははっきりaが整数とわかっていますから、答えが1つか2つになりやすいので、別解でも範囲を正しく絞って出てきた解を確かめればOKだと思います。
しかし、類題でaが整数と決まってなくてaの範囲を求める問題だと、別解は正しい範囲にならず△か☓になるので、解答例の求め方も知っておいて使えるようにはしておくといいと思います。

しゅん

なるほど、そのようにすれば差の範囲を極限まで近似できて解も少しは細かく絞れそうですね...ですが貴方のおっしゃる通り、aが整数でないと大分範囲がズレたりすると思うので正規のやり方もしっかり熟読してみようと思います😊
ありがとうございました！