Question

喃田凛

入試問題です。(2)の解答の最初のf(x)の作り方が分かりません。結果的にうまくいくのはわかるのですが、なぜこの式を最初に作れるのですか？
(1枚目問題、2,3枚目解答)

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Crystal Clear

Σf(k)
を計算したいわけですけど、Σ公式で知っているものは
f(k)=1
f(k)=k
f(k)=k^2
f(k)=k^3
f(k)=r^k
f(k)=k r^k
f(k)=nCk
f(k)=k nCk
などで、今回のf(k)のΣ計算はできません。Σ公式がないものを近似的に計算する常套手段は積分評価です。これは入試問題でもよく使われるもので、初めては唐突に感じられますが、慣れればごく自然な発想です。(1)の誘導もありますが、なくてもこれくらいはできるようになると思います。

喃田凛

(積分評価なるものを知らないので調べてみますが、)分からないのは左辺の数列の和よりも右辺の方です。(左辺だけ求めるのなら部分分数分解で何とかなりそうです。)
どうして「”ある範囲で定積分すると右辺になる式”はf(x)で、範囲は2〜n+1だとわかる」のかがわかりません。

喃田凛

「積分評価」を理解すればわかりますかね？
あるいは、直感でf(x)を作って定積分してみるしかないですか？

喃田凛

(またあるいは、こういう問題の出題パターンで必ずf(x)は左辺の数列の一般項の形になるものですかね？それだと解決なのですが……。)

喃田凛

ああ、理解できたかもしれない。一般項でf(x)を作れないならわざわざこんな解かせ方しないですね。とりあえず一般項からf(x)作ればいいですか。
念のため、思い違いかもしれないので追って返答いただきたいです。

Crystal Clear

確かに部分分数分解でΣ計算できますね。失礼しました。
Σf(k)を∫f(x)dxで評価することを、積分評価と表現しました。今回はf(k)=1/(x^2-1)です。

https://examist.jp/mathematics/integration-expression/tokenaisuretu/

Crystal Clear

右辺が∫f(x)dxになっているかは、実際に計算してみないとわかりませんが、典型的にはこのパターンです。

喃田凛

丁寧な回答ありがとうございます。

喃田凛

貼付の記事で理解が深まりました。ありがとうございます。