数IAがある程度できる(公式を使った因数分解できる、二次関数の最大最小が解ける、三角比の公式を覚えていて使えるくらい)なら早く数IIBをやった方がいいと思います。そして理系ならいち早く進めて、なるべく早く数IIIをやるべきだと思います。数IAや数IIBと比べて、はるかに慣れるまでに時間がかかり(特に極限・微分・積分)たくさん練習をつまないとほんとに1つも解けないので、遅くとも春休みからは数IIIをできるようにすべきです。
とはいえ、数IIBができないと数IIIもできません。数列(特にシグマ計算と漸化式、部分分数分解)と三角関数(特に加法定理・二倍角・半角・合成・和積)微積(基本計算、増減表からグラフを作図)は特に使うので、しっかり押さえておかないといけないと思います。
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青チャートを全てやるのは現実的ではないと思うので、上で挙げた数列、三角関数、微積の大事な問題+苦手なところだけやる、もしくはExercisesを一通りやるのがいいと思います。例題は赤色の[基本]ができればいいと思うので、黒色の[重要]は後回しで大丈夫だと思います。