ページ1:

大雑把な
テイラー展開の成り立ちと
マクローリン展開の解説!
KOUND LOOFEL
100
Date

ページ2:

<テイラー展開>
f(x)は以下のようにして多項式近似が
出来る
f(x)=L+c)
ct-ask
MI
n=0
ただし、次の条件を満たさないと上記のよう
に展開できない。
(条件)
・f(x)が区間Ⅰ・・・(a-r,atr)
で無限回微分可能であること、
・f(W)(x)=g(x)
g(x):連続問数
(条件2つ目の意味...)
g(x)
(証明)
方針:(条件)を満たした関数が
テイラー展開を行うことができるかどうか
をハッキリさせる!
f(x)が区間Ⅰ(a-r,atr)で
η回微分可能なとき、テイラーの定理(前のノート)
が成り立つ。
n-1 (k)
f(b)=f(a)
f(b)=kenote (b-art +Ren
k!
Rn=
finic)
(b-ag
hi
bを変数として見てあげたいのでそれっぽく、ひと
置き換えておきましょう。
n-1 (k)
) f(x) = 2" faca) (x-9)t + Ru
f(x)=2
k=0 c!
(-a)+Ra
...!
~ of """! ... (x) = f(n)/(x)
f(c)
Ru
(x-a)~
2
h!
※ここでん→cにしたときR→0になったら
主要項だけが残ってティラー展開したこと
になるということを予想する..
a-r
a
ath
ここで(条件)2つ目を加えてみる。
開区間Ⅰ
常に何かより下。つまり有限であること。
以上の展開方法をティラー展開といい、
|f(m) ail = g(x)
このときもちろん、
(条件)を満たす関数は「テイラー展開
可能である」という。
if(cc) = gcc)

ページ3:

No
Date
両辺に11aをかけると、
れを十分大きくすると、
<
・1より、anは
〇に収束する。
fa(c)
n
1x-a | ≤
gcc) l-al
改めて書くとのとき
ni
n!
M
より、
よって
n!
|Ru|=
g(c)
h!
12-91"
| Rn | ≤ M /1
n"
であるから、
ん!
ここでg(x)は区間Ⅰの中で連続であるとき、はさみうちの定理より
最大値をもつため、その最大値を定数Mと
すると、
Ru 0.
を得る。
g(c)
| Rn | = 200) 1x-a1" = +1
M
l-al
また→のとき主要項は、
となる。
また、xはⅠの中にあるから、
n-1
ficia
(k)
k=0
36
a-r < x < atr
より、
-ト<x-acr
la-alcr
roならば
lx-airn となるから、
|Ru| = M₁lx-al" ≤
M
h!
である。
ここで
M
an=
とおくと、
n!
M
>
(12-13!
であるから、1
an-
となる。
#
☆以上の式はx=aの周りでのティラー
展開という。
☆rを収束半径という区間Ⅰをよくみて
みると、点を中心として前後の幅で
(主要項)+(剰余項)がf(x)に収束する。
x=a周り...という意味も
(2-0)
→ II cal
ko
k!
(x-2)
となるから、
20
f(x) =
f(k)(a)
L
(x-aju
k=0
k!
an=
r
an- という漸化式
ができる。
www
納得できそうだ!
KOKUYO LOOSE-LEAF

ページ4:

☆複素数平面においてもテイラー展開
できるとしている。(それがあるからオイラーの公
式が定義される....この話は後ほど!)
0
Im(z)
Re(2)
そこでの収束半径とは本当に半径としての
挙動を示す!
例) Six をマクローリンしちゃおう!
f(x)=sinx
f'(x)
= cos x
f(x)
= -sixx
f(x)=-cosx
F%
f(0)=0
f'(0) = cos 0 =
f(0) = 0
f(0) = -1.
f(x)= flo)-f(o)x + f'(0)
次
42
x²
21
2次
+f" (0) 2³ + f (0) x 4"
(0)2²+
3!
+
4!
<マクローリン展開>
f(x)がx=0近傍で
沢
0+
x
無限回数微分可能で以下の式の右辺
+
が収束するとき、
x³
31
4!
f(x)=f(an
x
+1
n=0 h!
+
5!
と展開できる。これをマクローリン展開という。
よって
f(x)=x
x3
3!
+5!
25
(説明)
これは8mxを5次近似したものという
これまでのテイラー展開についてaを口に
するとマクローリン展開となる。
普段物理で使うような
つまり原点周りのテイラー展開とも
言うことができる
sint = x
+)
y=x
原点なわりのテイラー展開、つまりニクローリン展開
による、1次近似だったのだ!
/y=(5次近似式)
⇒x
その次を増やすほど精度は
良くなり、元々のf(x)に近づいていく。
m
y=x-3
(左図参照
マクローリン展開公式
(左辺)=(右辺)