ノートテキスト
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Dote ~シュレディンガー方程式~ step1) エネルギーと運動量を持つ粒子を、 角振動数 w と 波数で表せる波とに表してみる。 h(プランク定数)を2匹で割ったもの V(振動数)に、2匹をかけたもの 角振動数 ◎粒子性 の観点から(エネルギー量子仮説) 13 hv = ħ いい hw - O プランク 定数 振動数 ~ 過程~ E = h v = h (2TV ユル 19 = Z w 波動性の 観点から、(ド・ブロイ波長) h k…波数(波の数)。 翠で表す。 =hk ~ ・過程~ P = ス 2 K 2TL 1つの波長が大きいと、2匹中にある波の数は小 なる。 step2) 大方向へ伝わるwとKを持つ平面波中は振幅Aとして、次のように表せる。 角波数
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V (x,t) = A e (kx - ut 10 * T kx-wt= ETT E x (Px - Et) ~の導出方法~ (Step3) 波の式(実数) 時刻も のとき sin でも cosでも良いが、そこでsinxなので、 波の高さy(x,t) sinの方が分かりやすい とすると、 波長 g(x,t) = Asin 2.7L x+ O A-L 振幅 A 初期位 ex.) 時刻t=0のとき、 A-2 g(x,t)=y(x-vt,O) 時刻ものあいだに すすんだキョリとかける (秒前って考えた方がよい?) よって、A-1.2より、 y(x,t)=Asin(x-1)+0 ここで、油の周期をとおくと、ステレ A-3 周期とは... 波が1波長進む時間 [速度] X 1波長すすむのに (m/s) かかった時間(S) Q:[A-3] ^ 1x.) A sin (2* (+1 > Asin (22 (-)+0} A-4 f 2F =1波長の長さ(m)
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No. Oste ここで、 オイラーの公式を用いる ただし、 ea の 部分は初期位相のため オイラーの公式 eix=cosx+isinx 振幅Aに含めた。 4 = 5 x 15. (kx-wt)を代入費 y(x,t) = Ae(kx-wt) A-6 1/ ここで、波動方程式が出現する。 ◎波動方程式について A-5 A-5 式の 〇をAに含め、y(x,t)=Asin(kx-wt)とする。 この式は、あくまでも弦の振動などのみ!!の関数であり、運動とは を表せる 全く 関係がない。 But粒子の運動についてを表したいので、運動の意味を持たせる必要がある。 その目的 L But... 普通の運動であるならばニュートンの運動方程式を用いればよい。 L この粒子は波と物体の2つの意味を持っている・・・! ↓そこで ニュートンの運動方程式に変わる 運動を表す方程式を考える必要がある。 この方程式のことを、波動方程式という。 22 ちなみに、 ǝt² y(x,t)=vory(x,t) コレの電磁器verが、 (一次) マクスウェルの方程式
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✓<続き> A-5 1 A sin (kx-wt)=y(x,t) 前ページで説明 ここで、後の計算の都合上 A-5 A cos (kx-wt)とする。 これを、時間もで、1回偏微分すると、 2 It y(x,t)=A.(-ω)・{-sin (kx-wt) wt) } Aw sin (kx-wt) もう1回、tで偏微分すると、 y(x,t)= at² Aw (w) cos(kx-wt) -wy (x,t)< 1A-7 (終) これを、に次元の波動方程式という。 因みに、1次元は弦の振動を主に表し、 2次元は膜の振動を主に表す ここで、A-7A-6を代入すると、 22 at² = Ae² (kx -wt) -Aw² ei(kx-wt) = kx-wz Aeik -w{ Aе==== } = 12 となる。 プサイ 波動関数を用 いて、 4(x,t)=Ae i (kx - wt) at t³ 4 (2.1) = -w 4 (x,t). が成り立つ。
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ここで、一度 2ページへ戻る。 ↓)(x,t) = Ae i(kx-at) A e ここで、 (3) を解 に持つ方程式を導出する(step) 導出するには、 ③まで偏微分 2 4 (2.2) = E at し (x,t) - 4 No. Date 2 4 (x,t) = iP 412.5) 2 ③xで2回偏微分 22 ((x,t)= p³ - (x,t) - ⑤ 何故か分かんないケド とりあえず を用いる必要がある。 ここで、外力を受けずに運動する自由粒子の運動エネルギーは、 E = 1/12m= 2m P² - 4 P =mv より V = m ) 不 P V= を代入 m となる。 ここで 2 より、 at (z.t) また、⑤より、 4 (2.5) Y ⑨' =⑤'より、 0 (x,t) at -h 2 Ei 移項 → 自由粒子の運動量 =(at)-④ 移 =41xt-⑤ 22 2x2(2,t)× -= Ei
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Date ・続きつ y(x,t)=Asm127(1/÷)+8} A-4 ここで、角振動数 W= =波数K=2 とすると、 y(x,t)=Asin =Asin (kx-wt+0) 波の式(複素数) f 1 2π 20 t T 1+07 A-5 よって、 kは、位置にある 波の個数 ここで、 波 sin (kx-wt+0) と cos(kx-wt+o) は 同じ波を表す。 sin波の始まり どこから教えるか? がちがうだけで、表す形は変わらない! Cos波の始まり y(x,t)を、複素数として表すと、 y(x,t)=Af.sin(kx-wt+8)+isin (kx-wt+or} の}とな となる。 sin (kx-wtto)とcos (kx-wt+α)は同じ波を表すため ☆は、COS 波に書き変えることが可ようである。 y (x, t) = A f cos (kx - ut + 0) + 2sin (ke - we +1} cos(kx-wt+or)+isin(kx-wt+()
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No. Date ↓続き 2 004(7) 274 (7.1) ±± 40.1) + () これに を代入 ( E = 2mm P2) 2 t 4 (x,t) 2m 2 22 (一) (言を右辺へ移項) at 4 (7.2) 2m = az 22 () 2x 22 ax こ 22 41.2) 2m ◎両辺にごをかける 123 4.2) = ((x. 2) = 12 24 (x,t) ◎2mを移項 21 L コレが一般的な自由粒子の波動方程式である。 Step5 ここで、量子力学の特徴は二重性である。 粒子性 波動性 2222 2m P2=E 2 2m 22 (6.2) at この2つが同時になりたっているため、 2つの式を比較して -> Eth 20 +4 2x となる。
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ここで、 ポテンシャルV(2)中を運動する粒子の場合、 エネルギーの 和二 運動エネルギー+ポテンシャルエネルギー (位置エネ) であるから、 No 8 Date E= 2mp + V(x) 自由粒子の運動 位置エネルギー エネルギー (ポテンシャルエネルギー) が成り立つ。 ここで母を上式へ代入すると、 ih at 2/21m (+V(2) 両辺に中(xit)をかけると、 t it 4 (x,t) = -² 2 2m (xt)+V(x) (7) となる。 コレを、非定常状態(時間を含む)における、1次元シュレディンガー方程式 という。
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t No. Date 式で表すと、 ↓(x,y,z.t)= 4 (x. 7. 2) e -Et/n 4-17 L ここで point: 振幅Aを座標だけの関数と考える。 そもそもP.2より、 (x,y,z,t) AeicPx+y+PzEc)/2 =Ae i(px+y+z)/ ((-85)/ e ここを全て中(x,y,z)と考えれる (Aもつは、そのみの関数としたためる これを、4-16へ代入 m (+) 46.1.2) + V (2.4.2) 412.4.2) これを定常状態における また脱線… 定常状態 とは? 4-13式より、 3次元シュレディンガー方程式 (時間を含まない。) E (x, y, z) 14-191 と呼ぶ。 状態が時間によらず不変。 - 一定常波 →止まってみえる M (定常状態の波) = 2 2. M + 2x ハルミトニアンは +V(x,y,z) 19 こうなる。 ふ 4-19 より AP=E 4-20
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考え方 1)領域 Ⅱ における シュレディンガー方程式を考える。 粒子(質量m)のエネルギー固有値をEとする。 一度余談 ☆エネルギー固有値について。 またシュレディンガーに戻るよ~!! 1次元 シュレディンガー方程式 No. 12 Date (x,t)V(x)(x,t)=これ最中(x,t)① (it)部分を除いた部分を 2m 2x において、左辺 の 演算子を表す。 記号 4 h 22 2m + V (x) とする。 すると①は、 2 H4 とかける。 このHをハルミトニアンという。 ①は、一次元の式。 これを三次元空間に拡張する。 運動量ベクトルをP=(PxPy, Pz)とする。 エネルギー保存則より、 ÷m²+V(x,y,z)=E voon 運動エネ 位置エネ ここで、V= 嘘であるから、 IP 2m +Vix,y,z)=E -14-15 L 次ページへ x² 2 + V(2) V 2m
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No. Date ~つづき ここで P.7の4-10に注目。 4-10 より 1次元では、 PCxixと表せた。 コレを三次元に拡張する。 Px = -ih 不 Py = -ih 2 9 また、波動関数も拡張する。 中(xt) 1次元 ← 4 (x, y, z, t) 3次元 (it コレらを[4-15]式に作用させると (前ページ) ①を代入し、 両辺に中をかける。 h d² 22 2m + x² ay ǝz ) 4 (x, y, z, t) + V (zy, 2) P (z.Y. z,t) = E1,y,z,t) 何か、シュレディンガー方程式って エネルギーの式全体に中 14-16 かたやつっぽいよね。 これを、時間を含む3次元 C シュレディンガー方程式という。 ここから、シュレディンガー方程式を、時間を含まないものにしていく。 ↓を、空間座標に依存する波動関数4(x,y,z)ともに分ける。 ~イメージ~ AZ y 0 x
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No. 11 Date 無限に 深 th V(x) +00↑ +00 井戸型 ポテンシャル 左図のようなポテンシャル内を運動する粒子を考える。 全 城 領域Ⅰ TI 00 領域Ⅲ x=0 V(火) x L 0 0<x<L 00 L≤ x ↑ t 式上はこのように表される。 この状況を型ポテンシャルという ~この状態の意味~ V(x)+00 この領域に粒子が存在するには、+00以上の 運動エネルギーが必要 粒子は存在しない。 ふだから⇒<x<L内に粒子はとじこめられてほう! 0<x<Lに存在する粒子 ↳ ぢ束縛状態という V()=0より、全く力をうけないので ・自由電子として存在。 1) ※イメージ 入ってこないで!! ← 中に (+DP まぁ人以上の方がアル なら・・・ (+d ドア point 入りたくて力を加えるが +00が逆からかかっているため、 粒子が存在できない 1 中へは入れてもらえない。 波動関数=0 +α以上の力があれば 中に入れる。 1個もち もちからは働いていないので、 行きは自由
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