Undergraduate
物理

量子力学

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0

倫とん

倫とん

シュレディンガー方程式の成り立ち

ノートテキスト

ページ1:

Dote
~シュレディンガー方程式~
step1) エネルギーと運動量を持つ粒子を、
角振動数 w
と
波数で表せる波とに表してみる。
h(プランク定数)を2匹で割ったもの
V(振動数)に、2匹をかけたもの
角振動数
◎粒子性
の観点から(エネルギー量子仮説)
13
hv =
ħ
いい
hw - O
プランク
定数
振動数
~
過程~
E =
h v =
h
(2TV
ユル
19
= Z
w
波動性の
観点から、(ド・ブロイ波長)
h
k…波数(波の数)。
翠で表す。
=hk
~
・過程~
P =
ス
2
K
2TL
1つの波長が大きいと、2匹中にある波の数は小
なる。
step2) 大方向へ伝わるwとKを持つ平面波中は振幅Aとして、次のように表せる。
角波数

ページ2:

V (x,t) = A e (kx - ut 10
*
T
kx-wt=
ETT
E
x
(Px - Et)
~の導出方法~
(Step3)
波の式(実数)
時刻も のとき
sin でも cosでも良いが、そこでsinxなので、
波の高さy(x,t)
sinの方が分かりやすい
とすると、
波長
g(x,t) = Asin
2.7L
x+
O
A-L
振幅 A
初期位
ex.)
時刻t=0のとき、
A-2
g(x,t)=y(x-vt,O)
時刻ものあいだに
すすんだキョリとかける
(秒前って考えた方がよい?)
よって、A-1.2より、
y(x,t)=Asin(x-1)+0
ここで、油の周期をとおくと、ステレ
A-3
周期とは...
波が1波長進む時間
[速度]
X
1波長すすむのに
(m/s)
かかった時間(S)
Q:[A-3]
^
1x.) A sin (2* (+1
> Asin (22 (-)+0}
A-4
f
2F
=1波長の長さ(m)

ページ3:

No.
Oste
ここで、
オイラーの公式を用いる
ただし、
ea
の
部分は初期位相のため
オイラーの公式
eix=cosx+isinx
振幅Aに含めた。
4 = 5 x 15.
(kx-wt)を代入費
y(x,t) = Ae(kx-wt)
A-6
1/
ここで、波動方程式が出現する。
◎波動方程式について
A-5
A-5
式の 〇をAに含め、y(x,t)=Asin(kx-wt)とする。
この式は、あくまでも弦の振動などのみ!!の関数であり、運動とは
を表せる
全く
関係がない。
But粒子の運動についてを表したいので、運動の意味を持たせる必要がある。
その目的
L
But...
普通の運動であるならばニュートンの運動方程式を用いればよい。
L
この粒子は波と物体の2つの意味を持っている・・・!
↓そこで
ニュートンの運動方程式に変わる
運動を表す方程式を考える必要がある。
この方程式のことを、波動方程式という。
22
ちなみに、
ǝt²
y(x,t)=vory(x,t)
コレの電磁器verが、
(一次)
マクスウェルの方程式

ページ4:

✓<続き>
A-5
1
A sin (kx-wt)=y(x,t)
前ページで説明
ここで、後の計算の都合上
A-5
A cos (kx-wt)とする。
これを、時間もで、1回偏微分すると、
2
It
y(x,t)=A.(-ω)・{-sin (kx-wt)
wt) }
Aw sin (kx-wt)
もう1回、tで偏微分すると、
y(x,t)=
at²
Aw (w) cos(kx-wt)
-wy (x,t)<
1A-7
(終)
これを、に次元の波動方程式という。
因みに、1次元は弦の振動を主に表し、
2次元は膜の振動を主に表す
ここで、A-7A-6を代入すると、
22
at² = Ae² (kx
-wt)
-Aw² ei(kx-wt)
=
kx-wz
Aeik
-w{ Aе==== } = 12
となる。
プサイ
波動関数を用
いて、
4(x,t)=Ae
i (kx - wt)
at
t³
4 (2.1) = -w 4 (x,t).
が成り立つ。

ページ5:

ここで、一度
2ページへ戻る。
↓)(x,t) =
Ae
i(kx-at)
A e
ここで、
(3)
を解
に持つ方程式を導出する(step)
導出するには、
③まで偏微分
2
4 (2.2) =
E
at
し
(x,t)
-
4
No.
Date
2
4 (x,t) =
iP
412.5)
2
③xで2回偏微分
22
((x,t)=
p³
-
(x,t)
- ⑤
何故か分かんないケド
とりあえず
を用いる必要がある。
ここで、外力を受けずに運動する自由粒子の運動エネルギーは、
E =
1/12m=
2m
P² - 4
P
=mv より
V =
m
)
不
P
V=
を代入
m
となる。
ここで
2
より、
at (z.t)
また、⑤より、
4 (2.5) Y
⑨' =⑤'より、
0
(x,t)
at
-h
2
Ei
移項
→ 自由粒子の運動量
=(at)-④
移
=41xt-⑤
22
2x2(2,t)×
-=
Ei

ページ6:

Date
・続きつ
y(x,t)=Asm127(1/÷)+8}
A-4
ここで、角振動数 W= =波数K=2
とすると、
y(x,t)=Asin
=Asin (kx-wt+0)
波の式(複素数)
f
1
2π
20
t
T
1+07
A-5
よって、
kは、位置にある
波の個数
ここで、 波
sin (kx-wt+0)
と
cos(kx-wt+o)
は
同じ波を表す。
sin波の始まり
どこから教えるか?
がちがうだけで、表す形は変わらない!
Cos波の始まり
y(x,t)を、複素数として表すと、
y(x,t)=Af.sin(kx-wt+8)+isin (kx-wt+or}
の}とな
となる。
sin (kx-wtto)とcos (kx-wt+α)は同じ波を表すため
☆は、COS 波に書き変えることが可ようである。
y (x, t) = A f cos (kx - ut + 0) + 2sin (ke - we +1}
cos(kx-wt+or)+isin(kx-wt+()

ページ7:

No.
Date
↓続き
2
004(7)
274 (7.1) ±±
40.1) + ()
これに
を代入
( E =
2mm P2)
2
t
4 (x,t)
2m
2
22
(一)
(言を右辺へ移項)
at 4 (7.2) 2m
=
az
22
()
2x
22
ax
こ
22 41.2)
2m
◎両辺にごをかける
123 4.2) =
((x. 2) = 12 24 (x,t)
◎2mを移項
21
L
コレが一般的な自由粒子の波動方程式である。
Step5
ここで、量子力学の特徴は二重性である。
粒子性
波動性
2222
2m
P2=E
2
2m 22
(6.2)
at
この2つが同時になりたっているため、
2つの式を比較して
->
Eth
20
+4
2x
となる。

ページ8:

ここで、
ポテンシャルV(2)中を運動する粒子の場合、
エネルギーの
和二
運動エネルギー+ポテンシャルエネルギー
(位置エネ)
であるから、
No
8
Date
E=
2mp
+
V(x)
自由粒子の運動
位置エネルギー
エネルギー
(ポテンシャルエネルギー)
が成り立つ。
ここで母を上式へ代入すると、
ih
at
2/21m (+V(2)
両辺に中(xit)をかけると、
t
it 4 (x,t) = -²
2
2m
(xt)+V(x) (7)
となる。
コレを、非定常状態(時間を含む)における、1次元シュレディンガー方程式
という。

ページ9:

t
No.
Date
式で表すと、
↓(x,y,z.t)=
4 (x. 7. 2) e
-Et/n
4-17
L
ここで point:
振幅Aを座標だけの関数と考える。
そもそもP.2より、
(x,y,z,t)
AeicPx+y+PzEc)/2
=Ae
i(px+y+z)/
((-85)/
e
ここを全て中(x,y,z)と考えれる
(Aもつは、そのみの関数としたためる
これを、4-16へ代入
m
(+) 46.1.2) + V (2.4.2) 412.4.2)
これを定常状態における
また脱線…
定常状態
とは?
4-13式より、
3次元シュレディンガー方程式
(時間を含まない。)
E (x, y, z)
14-191
と呼ぶ。
状態が時間によらず不変。
-
一定常波
→止まってみえる
M
(定常状態の波)
=
2
2. M
+
2x
ハルミトニアンは
+V(x,y,z) 19
こうなる。
ふ
4-19 より AP=E
4-20

ページ10:

考え方
1)領域 Ⅱ
における
シュレディンガー方程式を考える。
粒子(質量m)のエネルギー固有値をEとする。
一度余談
☆エネルギー固有値について。
またシュレディンガーに戻るよ~!!
1次元 シュレディンガー方程式
No.
12
Date
(x,t)V(x)(x,t)=これ最中(x,t)①
(it)部分を除いた部分を
2m 2x
において、左辺
の
演算子を表す。
記号
4
h
22
2m
+ V (x)
とする。
すると①は、
2
H4
とかける。
このHをハルミトニアンという。
①は、一次元の式。
これを三次元空間に拡張する。
運動量ベクトルをP=(PxPy, Pz)とする。
エネルギー保存則より、
÷m²+V(x,y,z)=E
voon
運動エネ
位置エネ
ここで、V=
嘘であるから、
IP
2m
+Vix,y,z)=E
-14-15
L
次ページへ
x²
2
+ V(2) V
2m

ページ11:

No.
Date
~つづき
ここで P.7の4-10に注目。
4-10 より
1次元では、
PCxixと表せた。
コレを三次元に拡張する。
Px = -ih
不
Py = -ih 2
9
また、波動関数も拡張する。
中(xt)
1次元
←
4 (x, y, z, t)
3次元
(it
コレらを[4-15]式に作用させると
(前ページ)
①を代入し、
両辺に中をかける。
h
d²
22
2m
+
x²
ay
ǝz
) 4 (x, y, z, t) + V (zy, 2) P (z.Y. z,t) =
E1,y,z,t)
何か、シュレディンガー方程式って
エネルギーの式全体に中
14-16
かたやつっぽいよね。
これを、時間を含む3次元
C
シュレディンガー方程式という。
ここから、シュレディンガー方程式を、時間を含まないものにしていく。
↓を、空間座標に依存する波動関数4(x,y,z)ともに分ける。
~イメージ~
AZ
y
0
x

ページ12:

No.
11
Date
無限に
深
th
V(x)
+00↑
+00
井戸型 ポテンシャル
左図のようなポテンシャル内を運動する粒子を考える。
全
城
領域Ⅰ
TI
00
領域Ⅲ
x=0
V(火)
x
L
0
0<x<L
00
L≤ x
↑
t
式上はこのように表される。
この状況を型ポテンシャルという
~この状態の意味~
V(x)+00
この領域に粒子が存在するには、+00以上の
運動エネルギーが必要
粒子は存在しない。
ふだから⇒<x<L内に粒子はとじこめられてほう!
0<x<Lに存在する粒子
↳
ぢ束縛状態という
V()=0より、全く力をうけないので
・自由電子として存在。
1)
※イメージ
入ってこないで!!
← 中に
(+DP
まぁ人以上の方がアル
なら・・・
(+d
ドア
point
入りたくて力を加えるが
+00が逆からかかっているため、
粒子が存在できない
1
中へは入れてもらえない。
波動関数=0
+α以上の力があれば
中に入れる。
1個もち
もちからは働いていないので、
行きは自由

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