ページ1:

คณิตศาสตร์
ความชันของเส้น คง
-
ความชันของเส้นโค้ง ก็จุด (x,y) 16 2
2) ความชันของเส้นโค้งห้าง (4,3) แทนควา
1 99หาความชันของเส้นเอง ซึ่งเป็นการฟังใน 4 จุดที่กำหนดให้ - บทสัมภารของเส้น สัมผัสสัน มาร
1.) 9 = x - 3x ที่90 (3,0)
Sol. 2 ความชันของเส้น ตัวที่ 6 (x,y)โด ซึ่ง
folim fcx+h-f(x)
fox-xx ho
ax
h
-x= lim [(x+h)=-3(x+h)]-[(x=-3x)]
f(x+h)
h-o
= (x+h)=3(x+h)
=
3
h
=Tim [x+2xh+h-3x-3h-x-3x]
h-o
h
lim [2xh+h-3h]
h-30
h
lim (2x+h-3)
h→o
K
lim (2x+h-3)
h→0
=2x+0-3
= 2X-3
2) ความชันของเส้นโค้งที่ 63,0)
2 X - 3 = 2(3)-3 = (-3
= 3
(3) สมการของเส้น) ที่มีความชันใน 1 และผ่านจุด (x,y)
Pay-y₁ = m(x-x₁)
สมการของเส้นสัมผัสเส้นด้ามีความชื้นเป็น 3 60-
ผ่านจุด (3,0) อ
Y-0 = 3(x-3)
y = 3x-9
2) y=53
Sol.
y=foxo
= +
Posit
foxth)=
5(x+h)-L

ページ2:

21+5+2+13
416 64 256
Sol
ลิมิต
Ex. an
lim
x-+1
Sol L
+3 +5 +7
25 125 625
525
Sol. อนุกรมเลข ค
D
=
D-21-15=
+
125
ง 1+3+5+3
25 125 625
45.1+
1+1+125 625 =
5 25 125 625
+...
2+2+2
25 125 625
เป็นอนุกรมเรขา ทะ
1-r
$5.4.
S = 1 + 2/25
1-
5-1+ (2)
"
10
10
S=51x3
D
tim
Sol
DDDZ

ページ3:

ลิมิตของลำดับ
1) จ า กำลังสูงสุดของเศษ มากกว่า ส่วน - ลิมิตหาว่าไม่ได้ 208)
1 กำลังสูงสุด เศษ น้อยกว่า ส่วน - ลิมิต = 0 เจ้า
Ex 8n3n5n
@h-1
-
So). จากโจทย์ 1 กำลังสูงสุดของเศษ มากกว่า ส่วน
มิมิ หาค่าไม่ใส
แล้วส้ม
Ex.2. 86 = '70* _
5n-3
Sal.
tim
370
25
On
ก≈ 30-50 เป็น ออก
t
"
70-1
ลำดับ 8, -30 เน
วนเว
Ex→ ∞ = √n -1
า n + 1
h+1
Sol. lim 1 = 1
478
51-3
สาย 8, 1-1 เป็นสามขา
√5+1
Ex 4 an = 8n²+5n+2
3+25
Sol, lin) มาค่าไม่ได้ : เป็นดอก
ท
Ex.s. √4n-1
2n+An +2
Sol. 4n-1
=
20-1
2n+3+2 2n€n+12
Ex.4 3h (1)
=
Z
= 2
2+1
4. เป็น
น้องจาก อะไร ส่วน n = 0
..
เป็นลุงฟ้า
DD.D
ผอบ
ลง
Ex. 8
Sal.
an-(m

ページ4:

า
ผลบวกของอนุกรมอนันต์
ลองลำดับ (สั่งชุด)
Ex. 8, - √ท+1 - √n
Sol.
=
3. |
ผลบวกของอนุกรมอนันต์ (ไม่สามาร6 บวกกัน ครบทุกพจน์ได้)
Jer Sh=[20, + (n-1)]
8 S - 1 C6, +6, +- ใช้เมื่อพจน์แรกและพวงสุดท้าย
2
(√) Ex. 1+5+9+...+ (4n4-3)+...
(√) Sol. S₁ = 1
2007-20
(mm) (W)
MA++MF
lim
im on
+1-
W+1+1ค
โทษ+1 ++ค
=
lim 1
n- + + ก
S2 = 1+5 = 4
S = 1+5+ 9 = 1S
Sh 1+5+9+...+(4-3)
#
= n Lo, + an)
2
[1+40-3]
2
+4(4)-3
0
T
700
= 0
2
=
+2²-3
2n³-3-
2n-2n
= 2n-n
25
2
...
รับของผลบอลย่อย ล้อ 1, 6 - 15 ---- 20 - 1, ---
10
lim Sn = lim (en-n) = halis
ne
ทรง

ページ5:

ลิมิตของฟังก์ชัน ล่าง 60
เทพศา X
แ ว - 0 ให้ เ
ประกอบ หวังดาว
Ex. จงหาค่าของลิขิตต่อไปนี้ ถ้าตาค่าไม่ได้
. lim 1-√x
x+11-X
Sol lim√lim 1-√x
1-1X
| ก ก > ราคา
นั่นแล้วทำเลย
lim 2-√x+3
*-1
X-1
Sal. lim 2-x+3-lim (2√√x+3)(2+√√x+3)
X-31
X-1
X-1 (2+√x+3)
=
lim (2)-(√x+3)²
**11-X
2 tim x²-25
X-S
X+S
=
X-1
=
lim 1-
X-2
(1-17)(1+√7)
lim 1
x+11+√x
Sol. lim x-25=mx2-5
745
1+√1
=lim(x+5)(x-5)
N
X-9-5
(x+5
lim (x-5)
X--5
=-5-9
= -10
=
X-1
X-1 (2+√x+3)
= lim 4-x-3
x1
x-1(2+√x+3)
= lim -x+1
x2
X-1(2+√√x+3)
= lim -(x-1)
**1 x1(2+√x+3)
=
X1
lim 1
**1 2+√x+3
-
- - 1
2+√4
= -1
2
=
2+2
-1
4

ページ6:

ความต่อเนือง ของ ฟังก์ชัน
Ex. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก่อน ต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนดหรือไม่
fcx)=3x-1x=0
Sol. fco)=3(0)-1=0-1=-1
lim fax)=3(0)-1=0-1--1
x-90
③fro) = lim fcx)
- สรุปว่า เป็นฟังชั่น เอวที่ x = 0
f(x) = 1x1 x=0
Sol. fo)=101-0
②lim fcx) = 1x1 = 101-0
③fco) = lim fcx)
X70
สรุปว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง X=0
③fon = x-4x=4
×2-16
Sol. f(4) = 4
2 lim fex)=x-4x-4
x²-16 (x-4)(x+4)
x-4
- Math 1
x+4
f(x) #lim fcxabits
774
Ex
880 (-00,00)
①.fox)=7x-2,x<1
{xx²
-kx², x>1
1
Sol. f(1)=7x-2=7(1)-2=5
lim fax)=7x-2=7(1)-2=5
lim fox)=kx = k(1)²= k
x+1+
③f(1) = lim f(x) = lim fox
x-1"
:. k = 5
-kx²x²
2. f(x)
-2x+k, x>2
Salf(2) =kx=k(2)² = 4k
lim faxkx-kc2)²-4k
X-32
lim fax=2x+k=4+k
x+2+
4k = 4+k
4k-k=4
3k 24
K
2
x
DDDDD
อนุ
fca
20
Ex. E
Sol
1<

ページ7:

น้องขน
fox-fo
fon
fax'41
f(x)=x+2)=(a+b)+
Exy xx
อนุพันธ์ ของ ฟัง ก็ ชัช
* f(a+h)-fca)
กำหนดให้ f(p=x+1
Ex x x
เปลี่ยนจาก 5 เป็น 5.2
3) เปลี่ยน 8 เป็น 3+6
เปลี่ยน 5 เป็น 5.2
a fcathi-fco)
=
2
h
f(5.2)-f(s)
h
f(5.27-f(s)
0.2
370 and foxx = x²+1
-[(5.21)-(st+]
0.2
-[(27.04+1)-(25+1)]
9.2
- 28.04 - 26
0.2
2,04
0.2
2044
= 10.2
y
lim fcath)-fca)
=
h
lim (cath)-(+)
h-90
h
(5+)+1-251
h-o
- lim
h-o
= lim (10h+h³)
hoo
h
lim (10th)
hoo
=10+0
2
10
*[28+10h+hxx-28-2]
h

ページ8:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean)
3 ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
1.) 44 - - - 1 x +
(ประชากร) คือ 1 + x + X2+X3 *...* XN
M
Xi
N
N
2)- (ตัวอย่าง) คือ x - x+X+X3*
≤
ท
2
สมบัต : ถ้า C เป็นค่าคงที่ โดย
1)C - Ne
N
2) cx₁ = cxi
3.) (x+y)
1-1
N
Xi
N
4) (x;-y)= x;-;
1=1
1-1
n
Ex. ทำข้าวโพดมาเป็นตัวอย่าง จำนวน 10 งาน ปาก) ราคาข้าวโพด รับซื้อกิโลก
จาก 15 กิโลกรัมของข้าวโพดเลี้ยงสัตว์ ที่โรงงานซื้อ
(m) ob 4.57 4.42 5.28 6.80 7.08 4.82.5.48 4.95 7.20 4.43
X-
Sol. Xi
X
#
|=1
10
10
= 4.57+4.42+5.28+6.80+7.08+ 4.82 +5.48 +4.95+ 7.20+ 4.43
55.03
10
= 5.503
25.50

ページ9:

29 อายเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก (weighted arithmetic mean)
N
MW; X; W₁X + W₂ X₂ + Wz Xz +..
FMzTMz
N
Wi
- X1
=
..
+ WNXN
W + W,+W; + - + Ww
..
1-1
Ex.
วิหา
หน่วยกิจ
ผล เฮี้ยน
ไทย
1.0
4
กดต
2.0
3.S
3.5
Sol.
199
เคมี่
จงหาค่าเฉลี่ย
M
=
11
N
WWE
1.0
ครองผลทั้ง 3 วิ
WiXi
Wi
(1)(4)+(2) (3.5)+(1)(3.5)
(1)+(2)+(1)
= 4+7+3.S
= 14.5
4
4
3.625 #

ページ10:

4 ค่าเหลี่ เลข รวม
X - 1X, + 1X, +1,X3+...+nXk_
n,+1,+n,+:+n_
N, NA
= ZnX
20
M = N₁ M₁ + N₂ Mz + NzMz+... Nelly / Niki
N,+N,+N,+………. N,
T
EMA
N;
Ex. cราพที่ 1,2 และ 3 เป็น 2, 3, 5 บาท ตามลำดับ ถ้าซื้อไปจากร้านที่
Sel.
112, 11- 3 จำนวน 10, 20 และ 10 ฟอง ลำดับ โดยเกลี่ยไปเล
X = nixi
"
10(2)+20(3)+10(5)
10+20+10
20+60 +50
130
40
40
= 3.25 %
| n = จํานวน

ページ11:

3 ข้อมูลที่แจกแจงความถี่
^, X
=
EMEM
fixi
fi
X - จุดกึ่งกลางของ ชั้นที่ 1
f; = ความถี่ของอันตราคชั้นที่ 1
จํานวนอันตรภาคชั่น
k =
Ex. ถ้าน้ำหนัก (ky) ของ นักเรียนกลุ่มตัวอย่าง ชั้น ม.4 น้องหนึ่งของโรงเรียน เป็นอ
น้ำหนัก (ky)
จํานวนนักเรียน
31-40
10
41-50
13
51-60
14
61-70
8
71-80
5
กาม
50
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต น้ำหนักของนักเรียนชั้น ม.4 พังงา
Sol.
น้ำหนัก cky
31-40
จุลสง กลาง X
Xi
จ่าว ! ม
fixi
31+40
= 35.5
10
35.5*10=355
41-So
41+50 €45.5
13
45.5x13591.S
51-60
$1+69 = 55.5
14
2
55.5×14= 777
61-70
61+70 = 65.5
9
65.5 G = 524
71-80
71+80=79.S
5
โม
X = g fixi
1
1
1-1
EMEMO
fi
2625
50
- 52.5 H
5
29.SAS = 372.5
fi = 50
181
| fX; - 2,695

ページ12:

Ex. ความสัมพันธ์ระหว่างทาง (5)
S = 10+ 10 B และพ่อค้า 5 ราย ซึ่งสินค้า
Sol. จาก 3 = 10 +10 B
S= 10+10 B
ทราย (0) ของสินค้า เป็น
= 10+ 20 + 10 + 30-50 - 120 - 25
5
S = 10+10(29)
S = 10+250
5 = 260 #
120-
5
10, 20, 10, 20, 50 ลำดับ
4. เฉยเลขคณิตของ นร.สอง จำนวน 50 คน คือ 4.2 การสอบว่าผิดไป
3 ค่า ถึง 21, 2-6,490 0-44% ที่ถูกต้องใน 43,34, 20 มวน จากค่าเฉล
Sale
Ta
X
=
ง
nx =
ท
i=1
X;
(42) = ผลรวมของจะทหา
weaven-nook = 50 ×42 = 2100
ผลรวม100-160
=2100-34-26-40+43+36+30
=2109
Xm
- 2109
350
= 42.08 %
42.18*