ゲストさん 三代目本田屋さん ありがとうございます！
友人にも聞いたのですがわからないと言うので質問させていただきました！

a<0という条件、打っているうちに逆になってしまいましたね。
すみません。

私の書いた解答は、a>0であれば、適用されます。

ゲストさんの答えだと、計算が合いませんね。

α＜0という事なので

x=-1の時にy=4となり、
x=2の時にy=0となります。
これを元に傾きαを求めると
α=(0-4)/(2-(-1))=-4/3
となります。
次にy=-4/3+bに
先ほどのx=-1,y=4かx=2,y=0
を代入すると
0=-4/3×2+b
b=8/3
となって
y=-4/3x+8/3
となりますね。
ゲストさんの間違いは、
α＜0なのに
α=4/3とした所ですね。

-1≦x≦2のとき、0≦y≦4となる
一次関数y=ax+b (a<0) を求める問題
というところまでは、大丈夫ですか？

次に、y=ax+b (a<0)のグラフを考えると、
a<0なので、＼という向きのグラフです。

したがって、
x=-1 で y=0
x=2 で y=4
となるように、aとbを求めます。

解1(一次関数の性質を利用)
変化の割合(aにあたる部分)は、
(yの増加量)/(xの増加量)
=(4-0)/( 2-(-1) )
=4/3
よって、a=4/3となります。
y=4/3x+bとなるので、
x=-1,y=0を代入して、
0=-4/3+b
b=4/3
よって、求める一次関数は、
y=4/3x+4/3
となります。(a=4/3,b=4/3)

解2(連立方程式の利用)
y=ax+bに、
x=-1,y=0を代入すると、
0=-a+b
∴a=b ①
y=ax+bに、
x=2,y=4を代入すると、
4=2a+b
①...a=bを代入して、
4=2a+a
4=3a
a=4/3
a=bより、b=4/3
よって、求める一次関数は、
y=4/3x+4/3
となります。(a=4/3,b=4/3)