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1 因数分解(1) 共通因数のくくり出し
整数や式をいくつかの整数や式の積で表すとき,そのひとつひとつの数や式を,
もとの整数や式の因数といいます。
【例】
12=2×2×3
a2b=axaxb
の因数は1, 2, 3, 4, 6, 12
の因数はa, b, ab, a2
x(x+3)= xx(x+3) の因数は x, x+3
多項式をいくつかの因数の積として表すことを,その多項式を因数分解すると
いいます。
【例】 ax-bx = x(a-b)
▷ 項axとbx に共通な文字 x をかっこの外にくくり出すことによって
xx(a-b) のように式全体を因数だけのかけ算で表すことができる。
※因数分解の基本は“共通因数のくくり出し”なので、 今後公式等を習ったあと
も、まずはくくり出しができるかどうかをまず考えるようにしてください。
『まちがい例】 5x2-10xy
=
5(x²-2xy)
▷ 共通因数は5xなのに5でしかくくり出していいないので
まだ因数分解は終了していない。
x 2 + 2x +3
=
x(x+2) +3
▷ 因数だけのかけ算で表されていないので因数分解したとは
いえない。
※"分解”の言葉がありますが、 実際やることはまとめることです。
すでに授業で言われたと思いますが、 因数分解は展開の逆です。
つまり、 因数分解したあと、 それを展開するとかならず元にもどります。

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○ 共通因数のくくり出しを利用するバターン別因数分解
(1) 項が2つ
ab+2a =
a(b+2)
▷ 共通因数αでくくり出し
(2) 共通因数が複数
3x2+12x
=
3x(x+4)
▷ 共通因数 3æでくくり出し
※12=3×4
(3)項が3つ
am-bm+2cm =
m(a-b+2c)
> すべてに共通するmでくくり出し
(4) 共通因数が複数で項が3つ 6ax²-4ax+2a = 2a(3x²-2x+1)
> すべてに共通する2aでくくり出し
※1を書き忘れる子が多い
(5) マイナスもセットで
-3ax2+2ax =
-ax(3x-2)
▷ 共通因数-aæでくくり出し
-3ax2+2ax =
ax(-3x+2)
これでもいいけど、 今後公式を利用するところでかならずつまずくから上の
考え方も頭にいれておこう。
またねノシ

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○ 因数分解の公式1を利用した因数分解の例
〖例1】 x2 + 7x + 6を因数分解しなさい。
[ステップ1] 1×6=+6だから+1と+6。
〔ステップ 2〕 (+1) + (+6) = +7だからオッケー。
[ステップ3〕 (x+1)(x+6)
〖例 2〗 x2 -11x + 28 を因数分解しなさい。
[ステップ 1〕 (-4)×(-7)=+28だから-4と-7。
〔ステップ 2〕 (-4)+(-7)=-11だからオッケー。
[ステップ3〕 (x-4)(x-7) 圈
【例3〗x2-7x-8 を因数分解しなさい。
~ 失敗例~
〔ステップ 1〕
〔ステップ 2〕
(+2)×(-4)=-8だから+2と-4。
(+2)+(-4)=-2だからダメ。
~成功例〜
〔ステップ 1〕
(+1)×(-8)=-8だから+1と-8。
〔ステップ 2〕
(+1)+(-8) = -7 だからオッケー。
[ステップ 3〕
(x+1)(x-8) 圈
このように, さがす2つの数の組が複数存在する場合もあるので
根気強くさがしましょう。 (一発で見つかるとちょっと嬉しい)

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2 因数分解(2) 公式1
因数分解は展開を逆にみたものなので, 公式1は次のようにすると
因数分解の公式とみることができます。
【展開の公式 1】
(x+a)(x+b)
=
x 2 + (a + b)x + ab
【因数分解の公式 1】 x2 + (a + b)x + ab
=
(x+a)(x+b)
○ 因数分解の公式1を利用して因数分解をするには,次の3ステップを
ふみます。
〈ステップ 1〉 かけて定数部分になる2つの数をさがす。
〈ステップ 2> それら2つの数をたしてxの係数になるか確認する。
〈ステップ3> それら2つの数をxの右に書いてかっこかっこをつけて
おわり。
※ 必ず“かけて”から始めるよ
※ 10問も解けばすぐに覚えられる!

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3 因数分解(3) 公式2.3
○ 因数分解は展開を逆にみたものなので, 公式2・3は次のようにすると
因数分解の公式とみることができます。
(x+α)2
【 展開の公式2】
=
x² + 2ax + a²
【因数分解の公式 2】 x2 + 2ax + α²
=
(x+α) 2
【展開の公式 3】
(x-a)²
=
x2 -2ax+α2
=
(x-a)2
【因数分解の公式 3】 x2 -2ax+ α2
※与えられた式が, 2乗で始まって2乗で終わっているときはこれらの
公式が使えるかどうか疑おう。
○ 因数分解の公式 2・3を利用して因数分解をするには, 次の3ステップを
ふみます。
〈ステップ1> 2乗して定数部分になる数を考える。
〈ステップ 2> その数を2倍してxの係数になるか確認する。
〈ステップ3〉 その数を xの右に書き, 符号に注意してかっこの2乗
にまとめる。
※ 真ん中の係数が+ のときは +,-のときは−になるよ。

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○ 因数分解の公式 2 を利用した因数分解の例
【例1】 x2 +18x + 81を因数分解しなさい。
[ステップ1〕 81=92
[ステップ2]
2×9= 18 だからオッケー。
[ステップ3〕 (x+9)2 圈
9
【例2】 x 2 + 3x + 一を因数分解しなさい。
4
9
[ステップ1]
-2
―=
4
3
2
3
[ステップ2] 2x=3だからオッケー。
(x+2)²
[ステップ3] (x+1)

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4 因数分解(4) 公式4
因数分解は展開を逆にみたものなので, 公式 4 は次のようにすると
因数分解の公式とみることができます。
【展開の公式 4】
(x+a)(x-a)
=
x² - a²
【因数分解の公式4】
x² - a²
==
(x+a)(x-a)
※与えられた式が, 2つの項の引き算の場合はこの公式を利用しよう。
○ 因数分解の公式4を利用して因数分解をするには,次の3ステップを
ふみます。
〈ステップ1> 2乗-2乗であるか確認する。
〈ステップ2> 2乗して定数になる数を考える。
〈ステップ3> その数を xの右に書き, 真ん中の符号の一方を+,
他方を一にしてかっこかっこにまとめる。
※ +が先でもーが先でもどっちでもオッケー。

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○ 因数分解の公式3を利用した因数分解の例
2
【例1】x-18x + 81を因数分解しなさい。
[ステップ1] 81= 92
[ステップ2] 2×9=18 だからオッケー。
[ステップ 3〕 (x-9)2圈
真ん中の符号に注意
【例2】x220x +100 を因数分解しなさい。
[ステップ1] 100=102
[ステップ2] 2×10=20だからオッケー。
〔ステップ 3〕(x-10)2
真ん中の符号に注意

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○ 因数分解の公式 4 を利用した因数分解の例
〖例1】 x2-64を因数分解しなさい。
[ステップ1] x2-82
[ステップ2] 64 = 82
[ステップ3〕 (x +8)(x-8) 圈
〖例 2〗16-y' を因数分解しなさい。
〔ステップ 1〕 42-12
[ステップ2] 1642
[ステップ 3〕 (4-y)(4+y)圈
注) めっちゃよくみる間違い
(y-4)を展開しなさい。 y2-16
数と文字が逆でも公
式は利用できるよ
×
y2-8y +160
因数分解の公式 4 を習ったあとにこの展開をやってもらうと
この間違いをする子がめちゃくちゃ多いの!