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[2017 大阪府公立高校入試 数学C問題 〕
1
次の問いに答えなさい。
n+110 240-n
(8)n を自然数とするとき,
と
の値がともに自然数となるnの値を
13
7
すべて求めなさい。 求め方も書くこと。
*
Ans.
それぞれの分数を1文字で表し, 整数の性質をうまく利用する.
n+110
240-n
= p... ①,
...
= q ･･･ ② とおく。 (p, q は自然数)
13
7
① より n = 13p-110
②より n = -7q + 240 …※
これらの左辺が等しいから右辺も等しいので
ここで
13p-110 = - 7g + 240
13p = -7g+ 350
13p=-7(q-50) ...
の左辺は13の倍数であるから右辺も13の倍数であり、7は13の倍数で
ないから4-50 はかならず 13 の倍数である。
また, ※※の左辺は正なので右辺も正だから, q = 37, 24, 11。
q = 37 のとき,※に代入してn= -7 × 37 + 240 =-19 (n は自然数なので適さない)
q = 24 のとき,※に代入してn = - 7 × 24 + 240 = 72 (問題に適する)
q = 11 のとき, に代入してn=-7×11 + 240 = 163 (問題に適する)
答え 72 163
このような考えを使った問題を高校1年生の数学Ⅰで習います。