ページ1:

常微分方程
一階一次ODE
1.分離變數型
2.齊次型
3. 線性型
次
ODE
4.白努利
5. 正合型
Ex: (分離變數型) = P(x).8(g)
2
dy
dy.xy+2y-x-2 成大電資聯招 (2) x1+xy+x*y*=1 台科大管理
(1)
dx
xy-34 +X-3
4+1
y-1
(x+2)y- (x+2)
(X-3)y + (x-3)
(x+2)(y-1)
(x-3) (y+1)
☆成為D(X).g(g)型式
此為分離變數型
dy = x+32 dx
同時積分
X-3
5
2
→
|+
dx
X-3
10%
y²
u
y=4
¾ u = xy, y = x
dy
√x
叫什入
x = 4 x4 - u + u + u² = 1
⇒ ×
* #
=
=
y-1
y + 2 buly 11 = x + 5 ln | X-3) + C₁ #
»yt
y
5
e³ (y-1)² = e" (1-3) ³ (
=
du
4--1
exp
U-T
U |
+1²-1=0
+
t
X
u+T
= 0
du + f.
=0
x
111111+x= C'
>
"
15%
//+2%= C
xy-1 2x
4-1 ex = (7
4+/
xy+1 = C
#
exp

ページ2:

齊次型:“判別装: P(xy) /
(2)同除”
dy
Q(xy)e
dx = f(2)
F y = u → y = xu
Ex.
次數相同
dy
by = u + X 17
x
代入變成分離变數
(3)
3)解u=:?
xy=y-fox+y²g(2) = 0
Das It's a linear
台聯大5%(難)
dy
dz
4 z = 2, y = α z, da = 3 + x0 x
sol
-
X
(b,
y(x) parabolic v
XX y' = -X
代入:
(D) y" = = = = √
d3
-=-* dx
(ì)y (2) = 0
√ 1 + z =
3 + x + 3 = 3-√1 +32
變成分離變數型
→ Sant' (3) = -In |x| + C
sinhl)
3 sinh (C-Inx))
x
:
(此為通解)
√x
0 = smh (C-Jhl21)
C= In (2)
y = X sonh (In 12) - In 1 x 1 )
a-a
e-e
√ smh (a) = e² = ¿ª
2
y = 1 - 1 1/2 x ²
y' = - 1½ ½ x
2
y=

ページ3:

Ex:
線性型
dy
dx
t
p(x)y = Q (x)
dy
①將y.x圈起來
判別:次數一次
|沒有互乘
| 非超越函數
Yes,是線性
psp(x)dx
1(x) = eSP(x) dx
> No 用別的方法
(装項係數是I)
1(x) y = f 1x Qex) dx + C
y' + (tan x) y = cos x, y(o)= -|
taux dx
Sol: 10x) = estand doe
:
e
du/cosx1
S
:
005x
• cos x y = cos x cos x dx + C
y(0)=-1代入
Sin X + C
+(-1)=0 + C,C= -1
完整:
成大航太 5%
SX
#

ページ4:

白努利
#+ P(x)y=Q(x)yn
p(x) y = Q(x) y²
dx
①將g.圈起(多了一個y”)
判別:次數是否為一次No,白努利
dy
t
p(x) y m
= Q(x)
Fyn + = U\x), 441 33 33 1R 44
1
= u(x) =
ynt
Ex: y' + + y = = (1-2x) y +
50P:判別是白努利
+++ (1-2x)
= y4
3
分享
dy
34 Jx
= ?
代入得到5+5u=/(1-2X)
*(-3), du -4 = 2x-1
變成線性 ODE
I(x)= est dx e-x
(積分因子)
=
北科機械 15%
é¹³-u-(2-1)
→ (eu) · (xx-1) e
政
=
→ é^u- [x-le² + c
U =
= - (2x+1) e* + C
e
-(2x+1)ex.
y³
+C
y=(2x+1)+é C#
ec

ページ5:

正合型
M (x, y) dx + N(x, y) dy = c
判別m
JN
=
(利用備做)y
Yes. I
X
→No,求2(x2)積分因子
IM(xy) dx + 1 Nex,y)dy=0
do (x,y) =
合併
積分
積分因子1(x)
(f(x,y)=c
ON
3M -3x = f(x)
N
OM-DM
S fox dx
→2(x) = e
SI(g)dy
=
2 ay ax = fly) → 2 (g) e
M

ページ6:

台大土木20%
Ex: (6 x² - xy ) + ( − x + x y ² ) y's σ with gro)=3 6*±* »%
2
sol: ¥1) 51): 0 (6x°-xy)
#2 (x2)
by
=
0
2
ǝ (-x+xz³) : -3x²+2× y²
-2X
2x
34 +34
ay
24-3 -2x-2xy²
ay
求出後乘回原式
-x³+x²32
S-x
2
=
>> f(x), 1 (x) = e
=
6x4 dx - y dx - x dz + y² dy = 0
72
6x* dx + y²dy -y dx - x+y=0
合併
E TFF, 6x dx+y=dy+d (-x y ) = 0
x² + 1 y³ - xy = C
代入初值y()=3
(此為通解)
19
:
₤2 +0³ + 1—1—1 × ³ ³ - 0× 3 = C
C=9
——-3x5 + 15 ³ - xy - 9 = 0
#