Senior High
数学

数学II|5章 3節 積分 & ✔微積証明・面積公式

25

1015

0

^ ^

^ ^

Senior HighKelas 2

数IIの積分です。

p.p.11~12で積分の面積公式の導出を載せていますが、正確な導出方法は数IIIの積分(区分求積法)で扱います。今回はこれまでの知識を用いて証明したものになります。

────────────────────────────

学習指導要領外あるいは教科書範囲外の内容については後ろ9ページ分に記載しています。

 p.20 1/6公式
 p.21 微分・導関数の証明
 p.p.22~23 微積発展
 p.p.24~25 1/6公式(+‪α)
 p.26 1/3公式
 p.27 1/12公式
 p.28 1/30公式

────────────────────────────

☆訂正
22ページ問1(1)の解答に誤りがありました。
正しい解答は「y'=12(3x+5)³」です。

また同ページ問2の解答に積分定数Cが抜けていました。
正しい解答は「1/4(x-3)^4+C」です。

このページは数Ⅱ教科書の発展にあたる(数III)内容で、数III履修前であったこともあり、ミスに気がつきませんでした。申し訳ないです。

☆参考教科書
東書 数II 301

ノートテキスト

ページ1:

例1
3節 積分
1
不定積分
原始関数
い
(22)
こ
22
F'(x)=f(x)を満たす関数 F(x)
関数f(x)が与えられたとき
微分してf(x)になる関数
(x+2)
=270
2xの原始関数
(x²+2)=2x
f(x)の原始関数の1つをF(x)とすると、
f(x)の任意の原始関数 G(火)について
3G(x)-F(x)}=G((x)-F'(x)=f(x)=f(x)=0
2つの原始関数の差(定数)をCとすると
G(x) - F(x)=C
G(x)=F(x)+C
よってf(x)の任意の原始関数は
F(x)+C
である。
f(x)の不定積分
(f(x)dx = F(x)+C
(Cは定数)
Cを積分定数関数f(a)の不定積分を求める
ことを積分するという。
例2
(x=%
=
2x
であるから
2xdx=x+C1Cは積分定数)
積分する
肉+C
微分する
は通常
梅田

ページ2:

<不定積分の計算>
Qでの不定積分
んが正の整数または
.0
のとき
andx=
ntl
x
+ C
ht1.
問1 関数 y=x4を積分せよ。
x4
Jxt dx = 5
5
x
+C
◎定数倍、和、差の不定積分
1 S
fkefuyda = effryda
②f1fws+gardx=ffordx+
131
(右は定数)
{ fear + glas & dx = ( fear dx + ( glai da
1 fu) - gust de - ( Parda- f g la de
(34) 3 ( 13x²-6x+2) dx = x²³ − − 3 x² + 2x + C
問2 次の不定積分を求めよ。
(1)
f(-2)dx=-2x+c
(2) | (2x-3 ) dx = x² - 3 x + C
(3)
-
( 19x²- 5x-1) dx = 3x²- 5 x ² - x + C
2
(1)
(2)
例題」次の不定積分を求めよ。
3
f(x+1)(2x-1)dx = √(2x²+x − 1 ) d x = — — x² + 1 x − x + C
2
dx = ;
-t (3 + + 1 ) dt = ((3 + + + 1 ) d t = 1² + 1 + ² + C
2

ページ3:

Date
問3 次の不定積分を求めよ。
(1)f(5x+2)(5x-2)=(25x-4)d=
25
x²
3
3
-
4+C
12). ) (32-21³ da - (192²-12x+4) da² = 3x²-6x² + 4x + C
(3)
f14-3) (2++3)dt=
f180+60
6t-9)dt
b t - 9 ) d z = 8 z ³ + 3 + ² - 9 + + C
t+30-9t+C
3
例4 F(x)=x-3x.F(3)=-1を満たす関数F(x)を求めてみよう
Fexr = {(x²-sxidx= fa² - 3 x² + C
F(x)
x³
3x²+C
2
F(3) =9-27
+C=-1
JYC
-
2
2
よってF(2)
3
7
2
3
+72 F(x) = 1 x² - 2 x² + ½
3
問4F'(x)=x+x-2.F101=1.を満たす関数F()を
求めよ。
F(x)=((ズ+x-2)d=
3
Fix) = ((x++x-2) dx = x² + 1 x² - 2x + C
F10)=0+C
=
3
1
1
よってF(x)=1/2x+1/22-2+1
C
3

ページ4:

例題2 関数 y=f(x)のグラフは点A(1.5)を通り
このグラフ上の各点(x,y)における接
線の傾きは 3x-4xである。
数f(x)を求めよ。
f(x)
=3x²-4x
f(x) = ( (3x² - 4x) dx = x² - 2x² + C
A(1.5)を通るので
5
f(1)=
-
1+C
C = 6
よってf(x)
=
この関
x-2x+.6.
問5 関数 y=f(x)のグラフは点A(-1.3)を通り
このグラフ上の各点(x,y)における接線の
この関数 f(x)
傾きは
-6x2+2xである。
を求めよ。
f(a)
-6x+2x
da
ful = (1-6x²+22) de- - 2x² + x² + C
A(-1.3)を通るので
-₤1-1) = 3 + C
よって f(x)
.C.
こ
=
3
0
い
2x+x²

ページ5:

Date
2.定積分
<定積分>
G.(x)
関数f(x)=3xの原始関数を2つ選び
F(x) G (x)
とすると
• F(x) = ( 3x² dx = x² + 5.
(定数を5とする)
G(x) =
| 3x² dz = x² - 4
(定数を一とする)
ここで、2つの値aibでの差を考えると
³
Flb)-Fla)=(b3+5)-103+5)=l-a
G(b)-G(a) = (b-4)-(a-4)=ぴ-a
よって原始関数の値の量は原始関数の
選び方によらず 一定に定まることが分かる。
f(x)の
aからbまでの定積分
fレスト
Sh fixt da
fa
a (F) ...
a(下)
定積分を求めることを、f(x)を
下端、b(上)・上端
という。
a
aからbまで積分する
Fibi-Fial = [Ful]a
◎定積分
f(x)の原始関数の1つをF(x)とすると
do
faf(x) de = [F]=F(b)- Fla)
a

ページ6:

Date
例題3次の定積分を求めよ。
(1)
13xda
=
(2)
2
(3) 3
[1/2]3=1/3.26-
5
2
{² (5 dt [1 +²
[1 51 - 1² ) d t = [ 1/2 + ² 1 + ³]²
3
3
26
3
15
=
3 =
1
2
ON
2
{"² (x-2) dx = [fx²- 2x² + 4x]² = 9 - 18 + 12 + 3
問6 次の定積分を求めよ。
2x+4x
11
1 ³ (x² - 2x) da = [ ≤ x² - x² ] ³
3
26
8
3
23
2
12)
fo (5-3 +²) dt t-
(3).
° ( 5 - 3 + ² ) d t = [ 5 t - t³] 2 - 10 - 8 = 2
-2
3
-2
("'" (3x²+142-8)da = [ x² + 7 x² - 8 x ] = 2 + 0 - 16 = - 14
(4)
12(4x-3)
(4x-3)² dx =
16
23-12ズ++9272112-36+9=31
3
3
3
〈定積分
公式>
◎定積分の公式
[1] (h k fext dx = k (h fixida (12)
a
a
ch
12. (hf for + gust da = (h fext da + (h gext da
a
a
Ch
g(x) (.dx = fh fixida - (h gexida
{ fixt- g(x) { dx
a
3 h { Paxt
例5 (1)
f²
0.
M
い
2
a
2
a
(x²-4x+3) da = (²x²da - 4 ("² x d² + 3 )² dz
0
OM
1
0
[x]
[3]-[1]。
[ 3*² ] - 4 [ ± x ]; + 3 [ x ]
2
2
&
8+6
3
3
2

ページ7:

12)
カヌーズ)+2(スース) de
dx
x² dx = [ {/ x³² ] ²
2
x3
3
問7次の定積分を求めよ。
111
2
(2)
14x+5x-3)d[+1/22-3
- 12415-9.31
3
2+
f² ( 32²-4x+1) da - 2 (³² (x²-2x-1) dz
3
26
2
=(x+3)d [1/+32] = 12/27
=
44
+6
3
3
〈定積分の性質>
◎定積分の性質
f(x)dx=0.
101
Ja
a f(x) da
15
b
Ch
Ich
x+3x
- fh fixida
a
[6] (c fil da + fer fixida = ( fixida
証明:6
ch
IZMI : [6] for fixida + for fixida = [FI] " + [F(x)]^"^
[F1]+[]
= {Fic) - Flail + 3 Echl-Fich
=Flb) - Fla)
F(x)
b
- [Fal] h
い
far fix) de

ページ8:

問84
例.6
151
(a fuxide = [FW)] a
A
Ja
f(x)dx = [F]a
b
Fla) - Flal=0
-
=
Fla) - Flb)
b
ch
- -{ FUN - FINNE - - [FW)] a fh fus dx
(98.1.6 (24/12x-1) dx + (o/2x-1) = (②(2x-1) da
・[ズース]18-44
2
問9次の定積分を求めよ。
13
112 (²x² de + J, x^ dr = {, x^ da o
(2)
こ
15(2x+3) da-2 (2x+3)da = 1/2(2x+3)de
a
2
2
・[x+3x]
4
=
12+6
=
1.8
2
例題4
等式 f(x)=4x+3f(t) dtを満たす関数f()を求めよ。
0
f(x)=4x+3k
f(t)
bf.fitrd とおくと
0
k = f. 14 + + 3 k) dt = [ 2 t + 3 kr ] = 2 + 3 k
=-
t
4t+3k
より
よってf(x)=4.x-3

ページ9:

Date
等式f(x)=3x+22f(t) dtを満たす関数f(a)を求めよ。
k = for fit) de rosier
0
f(x)=3x+2k
f(t)=3t+2k より
[2/+2kw]
2
k = f (34 + 2k) dr = [ 3 + ² + 2 k ₁ ] ² = 6 + 4 k
b=-2
よってfixl
3.x-4
<定積分と微分>
aを定数、関数f(t)の原始関数の1つをF()とすると
(a fie de = [Fit)] a = Flal-Fla)
2
xで微分すると
x
d (a fit) doc
dx a
Q定積分と微分
a
d/Flat-Flask
da
F(x)-0
=
F(x)
f(x)
the
da (a fit) dt
=
f(x)
問1
関数f(x)=(/(40-t+2)dt
f'(x)
d1x
da (2² ( 4 + ² - ++ 2 ) dz
0
4x-x+2
を微分せよ。

ページ10:

Date
例題5.次の等式を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。
(xf(t) dt = 3x4x+1
f(x)=
d1x
fl) - da (a fi+) dt = 6x-4
ここで2
a
とすると
Saf(t)dt=30-4a+1=0
(3a-l)(a-1)=0
1
a
+
3
間に次の等式を満たす関数f(x)と定数のの値を求めよ。
Sa fie de
=
22-32-4
f(x)
d
d
(xf(t) dt
22-3
とすると
da a
ここで、x=a
Saf(t) de
--
a-30-4-0
(a+1)(a-4)=0
a=-1.4
問15 次の等式を満たす関数f(x)と定数のの値を求めよ。
12 fit) de = 2² + a2 - 5
x=1.
また
fit) dt
とすると
=
a-4
0
よりa=4
より
-(2 fit) dt = x² + 42-5
d1a
f(x)= f("^ fiende = 3x²+4
-
da

ページ11:

ate
3
定積分と面積
関数 f(x)=x+1のグラフとx軸
y
の間にある台形の面積を
S(x).
とすると、
x+1
y=
= fix)
S(x)=1/(x-1)32+(ス+1)}
3
1/2x+2/2(21)
S'(x)=x+1.
S'(x)=f(x).
S(x).
おり
が成り立つ。
y
区間 a≦x≦bにおいて
f(x)=0を満たす関数f(x)が
y=f(x)/
あり
曲線 y=f(x)
f(x)とx軸,
x=a.n
に囲まれた図形を
S(x)とする。
xがxからx+hhhまで変化
したときのS(a)の変化量
Slath) - S(x)
はho
で、この区間において
曲線y=f(x)とx軸の
間にある図形の面積である。
の
y
この面積が横h.縦f(h)
の長方形の面積と等しく
なるように
a ≤ t = a +h
として、七
とると、
fie)
a
S1x)
x
a b x
Stath)-5(2)
y = fix)
←
0
a
x x p b x
ath

ページ12:

Date
S(x+h)-S(x)=hh fit)
: S (2+ h) - s(x)
h
f(t)
ここでho
lin
That
h.
のときもxより f(t)+f(x)であるから
S(x+h)-S(x)=
f(x)
これはco
したがって、
のときにも同様にして成り立つ。
S'(x)=f(x) が成り立つ。
S(x)はf(x)の原始関数である。
F(x)を、f(x)の原始関数の
y=f(a)
1つとすると、定数をCとして
S(x)=F(x)+.C... ①
The Flarda
ここで、x=a
とすると、
C = - F (a)
F(a).
Sla)=0 より Fla)+C=0
①に代入してS(x)=F(x)-F(a)
またa=bとすると
S(b)=F(b)-Fla)
ch
・f^^ f(x) di
S(b)
0
a
S(b)= S
とすると次のことがいえる。
Q定積分と面積
区間 a≦x≦bにおいて
f(x)=0.
曲線y=
であるとする。
f(x)とx軸および
2直線x=a.x=bで囲
まれた図形の面積Sは
is
ch
a.
f(x) da
y
XS
y=f(x)/
0
a
>
h a

ページ13:

Date
例7 放物線y=x²-2x+3.
S
f(x²-2x+3)dt
3
[ズーズ+]
とx
および、直線=1,x=3で囲ま
れた図形の面積を求めてみよう
軸
.y
56
。
3
3
SS
26
8+6-
3
=
20
3
0
3
y=x²-2x+3
問14 放物線y=x+2x+2とx軸および直線x=-2.
囲まれた図形の面積を求めよ。
1/2(x+2x+2)dx
+2x]!
a
F
x + 2 ) d x = [ = x² + x² + 2 x
3
-
3+6
=
6
例題6 放物線y=-x+2xと軸で囲まれた図形の
面積Sを求めよ。
交点はーズ+2x=0.
y
よってS
=
-a(x-2)=0.
ふx=0.2
12 (ーズ+2x) da
0
[+
13813
-x³ + x²
+4
Hm.
3
4
y=-x²+2x

ページ14:

Date
問15 次の放物線と軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1)y
2
-
x²+1
ーズ+1=0.-(x+1)(x-1)=0
よってS
3
J>? √s = { ' (-x² + 1) dx = [ { x² + x ] ],
-
4
-- 32 + 2 + 1
-
x²+x+2
=
-x+x+2=0, -(x+1)(x-2)=0
by.
よってS=12(ーズ+x+2)d=
3
3+
+6
9
2
2
11x=-11
12=-
1,2
[+2/+2x]]
[3/3
13
(3) y = - 4x² + 8x-3
~4x²+8x-3=0 (2x-3)(2x-1)=0.
よってS
22
1
(-4x+8x-3)dx= [1/ズ+4ズ3%
13.
2
+
8-3
3
3
2
2
区間 a≦x≦bにおいて、
f(x)=0.
のときを考える。
囲まれた図形の面積は
f(x)≧0と同じである。
y=.
-fla)/
このとき
-
f(x)=0.
であるから
面積Sは
b
is - (^a^{- fixit da = - Ch Fiat da
f(x)
0a
l
x
a
y=f(x)

ページ15:

Date
例題7 放物線y=-x+4とえ軸および直線x=3で
囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。
よって
× 115 17 - x² +4
2
=
0.
2
-(x+2)(x-2)=0
x = - 2.2.
3
da
St (-x²+ 4) da - f² (-2²+ 4) de
[一+4x]22-[一/+4x] 32
16.
3
+
19
6)-(+4)
1.6
3
39
+2 +2 13
23
シ
0
2
ニーズ
32
3
3
3
問17 放物線y=ズー4xとx軸および直線xニー
れた2つの部分の面積の和を求めよ。
1で囲ま
x² - 4x = 0....
x(x-4)
=0.
2.2
0.4
よって
11
S° (x²-4x) da - (ª² (x²-4x) da
0
3
[1/2]-[1/2]。
2
--
64
3
32
3
73
39
3
+
32
3
13

ページ16:

Date
<2曲線間の面積>
2.グの曲線 y=f(x)
y=g(x)が区間のミスミ
において、f(x)≧g(x)
2曲線と2直線x=
とする。
a,
=bで囲まれた図形の
面積Sを求める
0.
区間 a≦x≦bで
50
y,
y=f(x)
f(x)
dx
千(火) ≧ g(x)とすると
yag(x)
b
N
a
f(x)
Rear de- fh glas de
a
Saz flal - quart da
a
y
また区間 a≦x≦bにおいて
f(x) = g(x)のとき
どちらか
y=f(x)+m
あるいは両方の関数が
負の値をとる場合、2曲
m
線をy軸方向に
(m>0)だけ平行移動
させ
値
をとるように
正の
する。移動後の2曲線
y=f(x)+m, y=g(a)+m
他2直線で囲まれた図形
の
面積は元の図形の面
積と
致する
0
よって
(b)
15 = felhar+mida - figlar+medx
a
10
(^^) fur-ga) iida
a
y=g(x)+m
oa
h
x
y=f(x)
y=g(x)

ページ17:

Date
Q2曲線間の面積
区間 a≦x≦bにおいて、f(x)≧g() であるとき
2曲線 y=f().
f(x)、y=g(a)と2直線x=a.x=
で囲まれた図形の面積Sは
b
S
s = [ { ful- g(x) { dx
a
例題822の放物線y=x-2xy=-x+4
図形の面積Sを求めよ。
交点は、X-2x=-x+4
よってS
2x²-2x-4=0
(x+1)(x-2)=0
小x=-1,2
Sーズ+4ノーズース)
₤(2x²-22-4) dx
-2 [12² - 12²-2x]²
2
囲まれた
y=x²-2x
4
--2 (3-3-3-6)-9
2
2
10
2.x
y=-2441
問18.次の曲線または直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) y=-x+2x,y=-x
まってS
-x²-2x = -x
x(x+1)
da
0 ふスニー1.0
da
125= | | (-2²-22)= (-x³ de = -{" (x²+x) d₂
[+]
1
-
2
6

ページ18:

(2) y=x^2+2x
x2+2x
x²+x-2.
y=x+2
x+2
=
0
(x-1)(x+2)=0
小ス=-2.1
よってS=1/21(+2)-(火)と
-S' (x²+x-2)-dx
2
-[1/1/+1/x2x]12
3
-13-2
336) - 9
(3) y=2xy=x+2x+3
2x
= x²+2x+3
x²-2x-3=0
(x+1)(x-3)=0
3
ふス=-1,3
372 $ = (³ { (x² + 2x+3)=2x-} da
3
S³, (x²-22-3)-da
[13/ズーズーチ]11
28.
8-12
12)
32
3
3
Date

ページ19:

Date
<絶対値のついた関数の定積分>
3
定積分(1x122) daを求めよ。
例題9.
0.
交点は
x(x-2)=0
3
0.2
Fox { | 2(2-2)] dr
11
f²/2(2-2)/ dz
S=(x-(x-2) | d2 +
f(ズー24)da+("(スー2ヌ)da
2
3
x-x
[1/ぴーズ]+[3/
(量-4)+(-5)
4
3
問19 定積分
+
3
0
y
y=/x6-21/1
3
先
y-2
yニーズ+2x
4
8.
3
3
を求めよ。
ふさ=-1.1
3
RALA (³² 1 α=-1 | da
0
22-1 = 0..
よって
3
(x+1)(x-1)=0
J> f " (x² - 11 dx = { ' \ x² - 11 dx + {²/x²-11da
0
3
-- f'" (x²-11da-+), (x²-1) dx
ニー[1/1ペース]+[1/ール]
11
23
(1)+(第
+
20
3
2
3
I
"
22
3.

ページ20:

参考>放物線で囲まれた図形の面積
Se (x-x) (x-3) dx = - b 13-α13
証明
Så (x-2) (x-() dx = ( 1 2² - ( x +p ) 2 + xp {-dz
x3
= [ { x² - (x + p ) x² + x 3 x ] 0
3
(α+(3)x²+xx
☑
(ρ3-(3)-1/(x+1)(x)+0(1-0)
2
\ \ \ p-allp²+ pα +α²) — — (p+x}"³ (p-α) + (x(p-x)
b
(-)2(4)-3(p²+2pa+m²) + 6 pa}
6
3
(-)-(+)--(((-x)"
( ( -α ) ( ~ ß³ ³² + 2 3 α -α)
t
6
4
例1 放物線y=ーズ+7x-10とx軸で囲まれた図形の
面積Sを求めてみよう。
-x²+7x-10=0.
-(2-2)(x-5)=0
ふx=2.5
9
=
2
S=(7(-2+72-10)=-1/(x2)(スー5)-0--1/(5-2)
6
問1. 放物線y=ーズ+3x+5と直線y=x+2で囲まれ
た図形の面積Sを求めよ。
S
-
x+3x+5
=x+2(x+1)(x-3)=0.ふ
++2)}
--- S³ (x²-2x-3)-dx
=
3
-{³ (x+1)(x-3) dz
-1.3
13+1)
32
=
6
3

ページ21:

Date
参考> n次関数の微分と積分
Qxの導関数
れが正の整数のとき(x)=nxn-
証明:二項定理より
い
6+h)" -2"
h
n
= x²-1 + = n(n-1) 2^-2 h.
u-l
( x + h)" = x " + n C 1 x " h + n Cz qh-2 h²
+ '" + nCn-1 2-hu- +hh
n-2
n-1
(x+ h) "^ = 2"+nx" + h + new la^2 h²+ +hxh+hin
n-l
—
2
thì
+hahn-2+hn-l
22h
2
(x^)' = lim
ここでhoのとき、nx
(x+h)-x
n-1
以外の各項は0に近づくので、
noch-L
h
またんが正の整数または0
のとき
(xh+1)=(n+1)x
(ズリ
Qxの不定積分
xch
となる。
んが正の整数または
0.
のとき
Sx" dx
ntl
a
+C
ntl

ページ22:

参考>
lax+b)の微分積分
んが整数のとき y=lax+b)ならばy'=an(ax+bu-l
例1 y=(2x+3)6ならばy'=2.6(2x+3)6-1=12(2x+3)5
問1 次の関数を微分せよ。
(1) y=13x+5)4
y=12x(3x+5)3
121
y=(1-x)5
y' = - 5 ( (-x) 4
h8111
8111
f
正の整数または
0
のとき
laxtbanda
a(n+1)
(ax+b) h+1 + C
+C
例2.
| (2x+5)+ dx = 2(4+1) (2x+5)+1 +C
2(4+1)(2x+5)h+1+C
1/10(2x+5)5+C
10
問2 不
不定積分((スー)を求め
Jo
=
小(3+1).
f(x-3)" (3.1) (2-3)²+! + (9-3) +
da
(x-314
4
問3 定積分(32-2)4daを求めよ。
fo
(1132-2)4da [1/15(3x-2)5]!
+4
1
-1-2154
15
33
15
ル
5

ページ23:

No.
Date
参考>曲線と接線の囲む図形の面積
問1 曲線y
3
x"
x²+3
接線と曲線
求めよ。
11
2
上の点(1.3)における
囲まれた図形の面積Sを
y!
a =
3x²-2x
1における接線の傾きは、
3.1-21-1
y=1.(x-1)+3
2+2
x3-x++3
また交点
は
a+2
x3
-
スープ+1.
=0
であるから
-
(x-1)(x-1)=0
(x-1)(x+1)=0
x=-1.1
よってS-f/{(スープ+3)(x+2)}
い
ズーズーズ
-
[ズー/ー/スイス]!
D
4
2
3
3
+0+2
43
い

ページ24:

✓ 積分面積公式
その他使える面積公式をまとめます。
証明は省略するので興味がある方は調べてみてください!
1/6公式①はp.20をご覧ください。
<1/6公式②>
S
y= ax² + bx + c
S
y=
= math
(atom to)
|a| (p-x)³
6
①と少し形が異なるので一応書いておきますが、 個人的には①で良いと思います。

ページ25:

〈1/6公式③>
S
〆
y = ax²+la+c
+C
y=px²+ gx+c
|ap| (B-α) ³
b

ページ26:

〈1/3公式〉
S
y = ca² that
C
y=
Math
|al (ẞ-x)3
3

ページ27:

〈1/12公式〉
S
α
= 1a (@-x)4
12
y = ax³ +hx² + cx+d
y=mx+h

ページ28:

〈1/30公式〉
y=ax²+hx²+ cx²+ date
y=mx+h
S
lal
(3-α) 5
30

ページ29:

Thank you for
reading.
plz

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