数学II|5章 3節 積分 & ✔微積証明・面積公式
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Senior HighKelas 2
数IIの積分です。
p.p.11~12で積分の面積公式の導出を載せていますが、正確な導出方法は数IIIの積分(区分求積法)で扱います。今回はこれまでの知識を用いて証明したものになります。
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学習指導要領外あるいは教科書範囲外の内容については後ろ9ページ分に記載しています。
p.20 1/6公式
p.21 微分・導関数の証明
p.p.22~23 微積発展
p.p.24~25 1/6公式(+α)
p.26 1/3公式
p.27 1/12公式
p.28 1/30公式
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☆訂正
22ページ問1(1)の解答に誤りがありました。
正しい解答は「y'=12(3x+5)³」です。
また同ページ問2の解答に積分定数Cが抜けていました。
正しい解答は「1/4(x-3)^4+C」です。
このページは数Ⅱ教科書の発展にあたる(数III)内容で、数III履修前であったこともあり、ミスに気がつきませんでした。申し訳ないです。
☆参考教科書
東書 数II 301
ノートテキスト
ページ1:
例1 3節 積分 1 不定積分 原始関数 い (22) こ 22 F'(x)=f(x)を満たす関数 F(x) 関数f(x)が与えられたとき 微分してf(x)になる関数 (x+2) =270 2xの原始関数 (x²+2)=2x f(x)の原始関数の1つをF(x)とすると、 f(x)の任意の原始関数 G(火)について 3G(x)-F(x)}=G((x)-F'(x)=f(x)=f(x)=0 2つの原始関数の差(定数)をCとすると G(x) - F(x)=C G(x)=F(x)+C よってf(x)の任意の原始関数は F(x)+C である。 f(x)の不定積分 (f(x)dx = F(x)+C (Cは定数) Cを積分定数関数f(a)の不定積分を求める ことを積分するという。 例2 (x=% = 2x であるから 2xdx=x+C1Cは積分定数) 積分する 肉+C 微分する は通常 梅田
ページ2:
<不定積分の計算> Qでの不定積分 んが正の整数または .0 のとき andx= ntl x + C ht1. 問1 関数 y=x4を積分せよ。 x4 Jxt dx = 5 5 x +C ◎定数倍、和、差の不定積分 1 S fkefuyda = effryda ②f1fws+gardx=ffordx+ 131 (右は定数) { fear + glas & dx = ( fear dx + ( glai da 1 fu) - gust de - ( Parda- f g la de (34) 3 ( 13x²-6x+2) dx = x²³ − − 3 x² + 2x + C 問2 次の不定積分を求めよ。 (1) f(-2)dx=-2x+c (2) | (2x-3 ) dx = x² - 3 x + C (3) - ( 19x²- 5x-1) dx = 3x²- 5 x ² - x + C 2 (1) (2) 例題」次の不定積分を求めよ。 3 f(x+1)(2x-1)dx = √(2x²+x − 1 ) d x = — — x² + 1 x − x + C 2 dx = ; -t (3 + + 1 ) dt = ((3 + + + 1 ) d t = 1² + 1 + ² + C 2
ページ3:
Date 問3 次の不定積分を求めよ。 (1)f(5x+2)(5x-2)=(25x-4)d= 25 x² 3 3 - 4+C 12). ) (32-21³ da - (192²-12x+4) da² = 3x²-6x² + 4x + C (3) f14-3) (2++3)dt= f180+60 6t-9)dt b t - 9 ) d z = 8 z ³ + 3 + ² - 9 + + C t+30-9t+C 3 例4 F(x)=x-3x.F(3)=-1を満たす関数F(x)を求めてみよう Fexr = {(x²-sxidx= fa² - 3 x² + C F(x) x³ 3x²+C 2 F(3) =9-27 +C=-1 JYC - 2 2 よってF(2) 3 7 2 3 +72 F(x) = 1 x² - 2 x² + ½ 3 問4F'(x)=x+x-2.F101=1.を満たす関数F()を 求めよ。 F(x)=((ズ+x-2)d= 3 Fix) = ((x++x-2) dx = x² + 1 x² - 2x + C F10)=0+C = 3 1 1 よってF(x)=1/2x+1/22-2+1 C 3
ページ4:
例題2 関数 y=f(x)のグラフは点A(1.5)を通り このグラフ上の各点(x,y)における接 線の傾きは 3x-4xである。 数f(x)を求めよ。 f(x) =3x²-4x f(x) = ( (3x² - 4x) dx = x² - 2x² + C A(1.5)を通るので 5 f(1)= - 1+C C = 6 よってf(x) = この関 x-2x+.6. 問5 関数 y=f(x)のグラフは点A(-1.3)を通り このグラフ上の各点(x,y)における接線の この関数 f(x) 傾きは -6x2+2xである。 を求めよ。 f(a) -6x+2x da ful = (1-6x²+22) de- - 2x² + x² + C A(-1.3)を通るので -₤1-1) = 3 + C よって f(x) .C. こ = 3 0 い 2x+x²
ページ5:
Date 2.定積分 <定積分> G.(x) 関数f(x)=3xの原始関数を2つ選び F(x) G (x) とすると • F(x) = ( 3x² dx = x² + 5. (定数を5とする) G(x) = | 3x² dz = x² - 4 (定数を一とする) ここで、2つの値aibでの差を考えると ³ Flb)-Fla)=(b3+5)-103+5)=l-a G(b)-G(a) = (b-4)-(a-4)=ぴ-a よって原始関数の値の量は原始関数の 選び方によらず 一定に定まることが分かる。 f(x)の aからbまでの定積分 fレスト Sh fixt da fa a (F) ... a(下) 定積分を求めることを、f(x)を 下端、b(上)・上端 という。 a aからbまで積分する Fibi-Fial = [Ful]a ◎定積分 f(x)の原始関数の1つをF(x)とすると do faf(x) de = [F]=F(b)- Fla) a
ページ6:
Date 例題3次の定積分を求めよ。 (1) 13xda = (2) 2 (3) 3 [1/2]3=1/3.26- 5 2 {² (5 dt [1 +² [1 51 - 1² ) d t = [ 1/2 + ² 1 + ³]² 3 3 26 3 15 = 3 = 1 2 ON 2 {"² (x-2) dx = [fx²- 2x² + 4x]² = 9 - 18 + 12 + 3 問6 次の定積分を求めよ。 2x+4x 11 1 ³ (x² - 2x) da = [ ≤ x² - x² ] ³ 3 26 8 3 23 2 12) fo (5-3 +²) dt t- (3). ° ( 5 - 3 + ² ) d t = [ 5 t - t³] 2 - 10 - 8 = 2 -2 3 -2 ("'" (3x²+142-8)da = [ x² + 7 x² - 8 x ] = 2 + 0 - 16 = - 14 (4) 12(4x-3) (4x-3)² dx = 16 23-12ズ++9272112-36+9=31 3 3 3 〈定積分 公式> ◎定積分の公式 [1] (h k fext dx = k (h fixida (12) a a ch 12. (hf for + gust da = (h fext da + (h gext da a a Ch g(x) (.dx = fh fixida - (h gexida { fixt- g(x) { dx a 3 h { Paxt 例5 (1) f² 0. M い 2 a 2 a (x²-4x+3) da = (²x²da - 4 ("² x d² + 3 )² dz 0 OM 1 0 [x] [3]-[1]。 [ 3*² ] - 4 [ ± x ]; + 3 [ x ] 2 2 & 8+6 3 3 2
ページ7:
12) カヌーズ)+2(スース) de dx x² dx = [ {/ x³² ] ² 2 x3 3 問7次の定積分を求めよ。 111 2 (2) 14x+5x-3)d[+1/22-3 - 12415-9.31 3 2+ f² ( 32²-4x+1) da - 2 (³² (x²-2x-1) dz 3 26 2 =(x+3)d [1/+32] = 12/27 = 44 +6 3 3 〈定積分の性質> ◎定積分の性質 f(x)dx=0. 101 Ja a f(x) da 15 b Ch Ich x+3x - fh fixida a [6] (c fil da + fer fixida = ( fixida 証明:6 ch IZMI : [6] for fixida + for fixida = [FI] " + [F(x)]^"^ [F1]+[] = {Fic) - Flail + 3 Echl-Fich =Flb) - Fla) F(x) b - [Fal] h い far fix) de
ページ8:
問84 例.6 151 (a fuxide = [FW)] a A Ja f(x)dx = [F]a b Fla) - Flal=0 - = Fla) - Flb) b ch - -{ FUN - FINNE - - [FW)] a fh fus dx (98.1.6 (24/12x-1) dx + (o/2x-1) = (②(2x-1) da ・[ズース]18-44 2 問9次の定積分を求めよ。 13 112 (²x² de + J, x^ dr = {, x^ da o (2) こ 15(2x+3) da-2 (2x+3)da = 1/2(2x+3)de a 2 2 ・[x+3x] 4 = 12+6 = 1.8 2 例題4 等式 f(x)=4x+3f(t) dtを満たす関数f()を求めよ。 0 f(x)=4x+3k f(t) bf.fitrd とおくと 0 k = f. 14 + + 3 k) dt = [ 2 t + 3 kr ] = 2 + 3 k =- t 4t+3k より よってf(x)=4.x-3
ページ9:
Date 等式f(x)=3x+22f(t) dtを満たす関数f(a)を求めよ。 k = for fit) de rosier 0 f(x)=3x+2k f(t)=3t+2k より [2/+2kw] 2 k = f (34 + 2k) dr = [ 3 + ² + 2 k ₁ ] ² = 6 + 4 k b=-2 よってfixl 3.x-4 <定積分と微分> aを定数、関数f(t)の原始関数の1つをF()とすると (a fie de = [Fit)] a = Flal-Fla) 2 xで微分すると x d (a fit) doc dx a Q定積分と微分 a d/Flat-Flask da F(x)-0 = F(x) f(x) the da (a fit) dt = f(x) 問1 関数f(x)=(/(40-t+2)dt f'(x) d1x da (2² ( 4 + ² - ++ 2 ) dz 0 4x-x+2 を微分せよ。
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Date 例題5.次の等式を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。 (xf(t) dt = 3x4x+1 f(x)= d1x fl) - da (a fi+) dt = 6x-4 ここで2 a とすると Saf(t)dt=30-4a+1=0 (3a-l)(a-1)=0 1 a + 3 間に次の等式を満たす関数f(x)と定数のの値を求めよ。 Sa fie de = 22-32-4 f(x) d d (xf(t) dt 22-3 とすると da a ここで、x=a Saf(t) de -- a-30-4-0 (a+1)(a-4)=0 a=-1.4 問15 次の等式を満たす関数f(x)と定数のの値を求めよ。 12 fit) de = 2² + a2 - 5 x=1. また fit) dt とすると = a-4 0 よりa=4 より -(2 fit) dt = x² + 42-5 d1a f(x)= f("^ fiende = 3x²+4 - da
ページ11:
ate 3 定積分と面積 関数 f(x)=x+1のグラフとx軸 y の間にある台形の面積を S(x). とすると、 x+1 y= = fix) S(x)=1/(x-1)32+(ス+1)} 3 1/2x+2/2(21) S'(x)=x+1. S'(x)=f(x). S(x). おり が成り立つ。 y 区間 a≦x≦bにおいて f(x)=0を満たす関数f(x)が y=f(x)/ あり 曲線 y=f(x) f(x)とx軸, x=a.n に囲まれた図形を S(x)とする。 xがxからx+hhhまで変化 したときのS(a)の変化量 Slath) - S(x) はho で、この区間において 曲線y=f(x)とx軸の 間にある図形の面積である。 の y この面積が横h.縦f(h) の長方形の面積と等しく なるように a ≤ t = a +h として、七 とると、 fie) a S1x) x a b x Stath)-5(2) y = fix) ← 0 a x x p b x ath
ページ12:
Date S(x+h)-S(x)=hh fit) : S (2+ h) - s(x) h f(t) ここでho lin That h. のときもxより f(t)+f(x)であるから S(x+h)-S(x)= f(x) これはco したがって、 のときにも同様にして成り立つ。 S'(x)=f(x) が成り立つ。 S(x)はf(x)の原始関数である。 F(x)を、f(x)の原始関数の y=f(a) 1つとすると、定数をCとして S(x)=F(x)+.C... ① The Flarda ここで、x=a とすると、 C = - F (a) F(a). Sla)=0 より Fla)+C=0 ①に代入してS(x)=F(x)-F(a) またa=bとすると S(b)=F(b)-Fla) ch ・f^^ f(x) di S(b) 0 a S(b)= S とすると次のことがいえる。 Q定積分と面積 区間 a≦x≦bにおいて f(x)=0. 曲線y= であるとする。 f(x)とx軸および 2直線x=a.x=bで囲 まれた図形の面積Sは is ch a. f(x) da y XS y=f(x)/ 0 a > h a
ページ13:
Date 例7 放物線y=x²-2x+3. S f(x²-2x+3)dt 3 [ズーズ+] とx および、直線=1,x=3で囲ま れた図形の面積を求めてみよう 軸 .y 56 。 3 3 SS 26 8+6- 3 = 20 3 0 3 y=x²-2x+3 問14 放物線y=x+2x+2とx軸および直線x=-2. 囲まれた図形の面積を求めよ。 1/2(x+2x+2)dx +2x]! a F x + 2 ) d x = [ = x² + x² + 2 x 3 - 3+6 = 6 例題6 放物線y=-x+2xと軸で囲まれた図形の 面積Sを求めよ。 交点はーズ+2x=0. y よってS = -a(x-2)=0. ふx=0.2 12 (ーズ+2x) da 0 [+ 13813 -x³ + x² +4 Hm. 3 4 y=-x²+2x
ページ14:
Date 問15 次の放物線と軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 (1)y 2 - x²+1 ーズ+1=0.-(x+1)(x-1)=0 よってS 3 J>? √s = { ' (-x² + 1) dx = [ { x² + x ] ], - 4 -- 32 + 2 + 1 - x²+x+2 = -x+x+2=0, -(x+1)(x-2)=0 by. よってS=12(ーズ+x+2)d= 3 3+ +6 9 2 2 11x=-11 12=- 1,2 [+2/+2x]] [3/3 13 (3) y = - 4x² + 8x-3 ~4x²+8x-3=0 (2x-3)(2x-1)=0. よってS 22 1 (-4x+8x-3)dx= [1/ズ+4ズ3% 13. 2 + 8-3 3 3 2 2 区間 a≦x≦bにおいて、 f(x)=0. のときを考える。 囲まれた図形の面積は f(x)≧0と同じである。 y=. -fla)/ このとき - f(x)=0. であるから 面積Sは b is - (^a^{- fixit da = - Ch Fiat da f(x) 0a l x a y=f(x)
ページ15:
Date 例題7 放物線y=-x+4とえ軸および直線x=3で 囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。 よって × 115 17 - x² +4 2 = 0. 2 -(x+2)(x-2)=0 x = - 2.2. 3 da St (-x²+ 4) da - f² (-2²+ 4) de [一+4x]22-[一/+4x] 32 16. 3 + 19 6)-(+4) 1.6 3 39 +2 +2 13 23 シ 0 2 ニーズ 32 3 3 3 問17 放物線y=ズー4xとx軸および直線xニー れた2つの部分の面積の和を求めよ。 1で囲ま x² - 4x = 0.... x(x-4) =0. 2.2 0.4 よって 11 S° (x²-4x) da - (ª² (x²-4x) da 0 3 [1/2]-[1/2]。 2 -- 64 3 32 3 73 39 3 + 32 3 13
ページ16:
Date <2曲線間の面積> 2.グの曲線 y=f(x) y=g(x)が区間のミスミ において、f(x)≧g(x) 2曲線と2直線x= とする。 a, =bで囲まれた図形の 面積Sを求める 0. 区間 a≦x≦bで 50 y, y=f(x) f(x) dx 千(火) ≧ g(x)とすると yag(x) b N a f(x) Rear de- fh glas de a Saz flal - quart da a y また区間 a≦x≦bにおいて f(x) = g(x)のとき どちらか y=f(x)+m あるいは両方の関数が 負の値をとる場合、2曲 m 線をy軸方向に (m>0)だけ平行移動 させ 値 をとるように 正の する。移動後の2曲線 y=f(x)+m, y=g(a)+m 他2直線で囲まれた図形 の 面積は元の図形の面 積と 致する 0 よって (b) 15 = felhar+mida - figlar+medx a 10 (^^) fur-ga) iida a y=g(x)+m oa h x y=f(x) y=g(x)
ページ17:
Date Q2曲線間の面積 区間 a≦x≦bにおいて、f(x)≧g() であるとき 2曲線 y=f(). f(x)、y=g(a)と2直線x=a.x= で囲まれた図形の面積Sは b S s = [ { ful- g(x) { dx a 例題822の放物線y=x-2xy=-x+4 図形の面積Sを求めよ。 交点は、X-2x=-x+4 よってS 2x²-2x-4=0 (x+1)(x-2)=0 小x=-1,2 Sーズ+4ノーズース) ₤(2x²-22-4) dx -2 [12² - 12²-2x]² 2 囲まれた y=x²-2x 4 --2 (3-3-3-6)-9 2 2 10 2.x y=-2441 問18.次の曲線または直線で囲まれた図形の面積を求めよ。 (1) y=-x+2x,y=-x まってS -x²-2x = -x x(x+1) da 0 ふスニー1.0 da 125= | | (-2²-22)= (-x³ de = -{" (x²+x) d₂ [+] 1 - 2 6
ページ18:
(2) y=x^2+2x x2+2x x²+x-2. y=x+2 x+2 = 0 (x-1)(x+2)=0 小ス=-2.1 よってS=1/21(+2)-(火)と -S' (x²+x-2)-dx 2 -[1/1/+1/x2x]12 3 -13-2 336) - 9 (3) y=2xy=x+2x+3 2x = x²+2x+3 x²-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 3 ふス=-1,3 372 $ = (³ { (x² + 2x+3)=2x-} da 3 S³, (x²-22-3)-da [13/ズーズーチ]11 28. 8-12 12) 32 3 3 Date
ページ19:
Date <絶対値のついた関数の定積分> 3 定積分(1x122) daを求めよ。 例題9. 0. 交点は x(x-2)=0 3 0.2 Fox { | 2(2-2)] dr 11 f²/2(2-2)/ dz S=(x-(x-2) | d2 + f(ズー24)da+("(スー2ヌ)da 2 3 x-x [1/ぴーズ]+[3/ (量-4)+(-5) 4 3 問19 定積分 + 3 0 y y=/x6-21/1 3 先 y-2 yニーズ+2x 4 8. 3 3 を求めよ。 ふさ=-1.1 3 RALA (³² 1 α=-1 | da 0 22-1 = 0.. よって 3 (x+1)(x-1)=0 J> f " (x² - 11 dx = { ' \ x² - 11 dx + {²/x²-11da 0 3 -- f'" (x²-11da-+), (x²-1) dx ニー[1/1ペース]+[1/ール] 11 23 (1)+(第 + 20 3 2 3 I " 22 3.
ページ20:
参考>放物線で囲まれた図形の面積 Se (x-x) (x-3) dx = - b 13-α13 証明 Så (x-2) (x-() dx = ( 1 2² - ( x +p ) 2 + xp {-dz x3 = [ { x² - (x + p ) x² + x 3 x ] 0 3 (α+(3)x²+xx ☑ (ρ3-(3)-1/(x+1)(x)+0(1-0) 2 \ \ \ p-allp²+ pα +α²) — — (p+x}"³ (p-α) + (x(p-x) b (-)2(4)-3(p²+2pa+m²) + 6 pa} 6 3 (-)-(+)--(((-x)" ( ( -α ) ( ~ ß³ ³² + 2 3 α -α) t 6 4 例1 放物線y=ーズ+7x-10とx軸で囲まれた図形の 面積Sを求めてみよう。 -x²+7x-10=0. -(2-2)(x-5)=0 ふx=2.5 9 = 2 S=(7(-2+72-10)=-1/(x2)(スー5)-0--1/(5-2) 6 問1. 放物線y=ーズ+3x+5と直線y=x+2で囲まれ た図形の面積Sを求めよ。 S - x+3x+5 =x+2(x+1)(x-3)=0.ふ ++2)} --- S³ (x²-2x-3)-dx = 3 -{³ (x+1)(x-3) dz -1.3 13+1) 32 = 6 3
ページ21:
Date 参考> n次関数の微分と積分 Qxの導関数 れが正の整数のとき(x)=nxn- 証明:二項定理より い 6+h)" -2" h n = x²-1 + = n(n-1) 2^-2 h. u-l ( x + h)" = x " + n C 1 x " h + n Cz qh-2 h² + '" + nCn-1 2-hu- +hh n-2 n-1 (x+ h) "^ = 2"+nx" + h + new la^2 h²+ +hxh+hin n-l — 2 thì +hahn-2+hn-l 22h 2 (x^)' = lim ここでhoのとき、nx (x+h)-x n-1 以外の各項は0に近づくので、 noch-L h またんが正の整数または0 のとき (xh+1)=(n+1)x (ズリ Qxの不定積分 xch となる。 んが正の整数または 0. のとき Sx" dx ntl a +C ntl
ページ22:
参考> lax+b)の微分積分 んが整数のとき y=lax+b)ならばy'=an(ax+bu-l 例1 y=(2x+3)6ならばy'=2.6(2x+3)6-1=12(2x+3)5 問1 次の関数を微分せよ。 (1) y=13x+5)4 y=12x(3x+5)3 121 y=(1-x)5 y' = - 5 ( (-x) 4 h8111 8111 f 正の整数または 0 のとき laxtbanda a(n+1) (ax+b) h+1 + C +C 例2. | (2x+5)+ dx = 2(4+1) (2x+5)+1 +C 2(4+1)(2x+5)h+1+C 1/10(2x+5)5+C 10 問2 不 不定積分((スー)を求め Jo = 小(3+1). f(x-3)" (3.1) (2-3)²+! + (9-3) + da (x-314 4 問3 定積分(32-2)4daを求めよ。 fo (1132-2)4da [1/15(3x-2)5]! +4 1 -1-2154 15 33 15 ル 5
ページ23:
No. Date 参考>曲線と接線の囲む図形の面積 問1 曲線y 3 x" x²+3 接線と曲線 求めよ。 11 2 上の点(1.3)における 囲まれた図形の面積Sを y! a = 3x²-2x 1における接線の傾きは、 3.1-21-1 y=1.(x-1)+3 2+2 x3-x++3 また交点 は a+2 x3 - スープ+1. =0 であるから - (x-1)(x-1)=0 (x-1)(x+1)=0 x=-1.1 よってS-f/{(スープ+3)(x+2)} い ズーズーズ - [ズー/ー/スイス]! D 4 2 3 3 +0+2 43 い
ページ24:
✓ 積分面積公式 その他使える面積公式をまとめます。 証明は省略するので興味がある方は調べてみてください! 1/6公式①はp.20をご覧ください。 <1/6公式②> S y= ax² + bx + c S y= = math (atom to) |a| (p-x)³ 6 ①と少し形が異なるので一応書いておきますが、 個人的には①で良いと思います。
ページ25:
〈1/6公式③> S 〆 y = ax²+la+c +C y=px²+ gx+c |ap| (B-α) ³ b
ページ26:
〈1/3公式〉 S y = ca² that C y= Math |al (ẞ-x)3 3
ページ27:
〈1/12公式〉 S α = 1a (@-x)4 12 y = ax³ +hx² + cx+d y=mx+h
ページ28:
〈1/30公式〉 y=ax²+hx²+ cx²+ date y=mx+h S lal (3-α) 5 30
ページ29:
Thank you for reading. plz
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数学
(1)は因数でくくる時にどうやって数決めればいいですか? いつも違う数でくくってしまって答えが合いません (2)は1,1+2,1+2+2^2…という数列なのになんで勝手に1+2+2^2….2^k-1の数列になってるんですか 1,3,7…の数列じゃないんですか? 問題文はなぜこんな書き方してるんでしょうか なぜ右の数だけの等比数列の和なのにわざわざこんな書き方してるんですか?
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この問題の解き方教えて下さいm(_ _)m
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数学
数3の積分法の問題です このように答えの式の指数が分数のままのものと、√の形に直すものの違いがわかりません。どのような時に√に直す必要があるのか、教えていただきたいです。
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数学
p-m/q-mをしても赤線部のようにならなかったので教えていただきたいです🙇🏻♀️
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数学
(1)の問題がわからないのですが、解説を見てAP=9分の7AQという所まで分かったのですが、なぜ点Pは7:2になるのですか?
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